Exercice corrigé de thermodynamique

Chauffage à pression constante : découverte de CPC_P

Exercice 8 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

  • capacité thermique
  • pression constante
  • relation de Mayer
  • chauffage isobare
  • gaz parfait

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Une mole de gaz parfait monoatomique (CV=32RC_V = \frac{3}{2}R) est enfermée dans une enceinte de volume initial V0=25V_0 = 25 L, fermée par un piston mobile sans frottement soumis à la pression atmosphérique P0=1,0×105P_0 = 1{,}0\times10^5 Pa, supposée constante. Le système est initialement à l'équilibre. Une petite résistance électrique placée dans l'enceinte apporte une chaleur Q=1000Q = 1000 J de façon quasi-statique.

  1. Déterminer numériquement la température initiale T0T_0.
  2. Déterminer l'état final (température, pression, volume) de façon littérale puis numérique. Calculer WW et ΔU\Delta U. Quelle fraction de la chaleur apportée sert à repousser l'atmosphère ?
  3. Ce calcul permet de définir la capacité thermique molaire à pression constante, CP=(δQ/dT)PC_P = \left(\delta Q/\mathrm{d}T\right)_P. Exprimer CPC_P en fonction de CVC_V et RR. Cette formule est un cas particulier d'une relation générale que l'on démontrera plus tard (relation de Mayer).

Indication
La transformation est isobare : W=−P0 ΔVW = -P_0\,\Delta V, et l'équation d'état donne P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V = R\,\Delta T. Injecter dans le premier principe pour obtenir une équation sur ΔT\Delta T seul.

Solution détaillée

Solution
Question 1. T0=P0V0R=105×25×10−38,314≈301T_0 = \dfrac{P_0V_0}{R} = \dfrac{10^5 \times 25\times10^{-3}}{8{,}314} \approx 301 K.

Question 2. La pression finale vaut P0P_0 (équilibre mécanique du piston). Premier principe :

ΔU=Q+W=Q−P0 ΔV.\Delta U = Q + W = Q - P_0\,\Delta V.

Or ΔU=32R ΔT\Delta U = \tfrac{3}{2}R\,\Delta T et P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V = R\,\Delta T (isobare), donc

32R ΔT=Q−R ΔT  ⟹  ΔT=2Q5R≈48 K.\tfrac{3}{2}R\,\Delta T = Q - R\,\Delta T \implies \Delta T = \frac{2Q}{5R} \approx 48\ \text{K}.

D'où Tf≈349T_f \approx 349 K et Vf=V0 Tf/T0≈29,0V_f = V_0\,T_f/T_0 \approx 29{,}0 L. On en tire les valeurs exactes

W=−P0 ΔV=−25Q=−400 J,ΔU=35Q=+600 J.W = -P_0\,\Delta V = -\tfrac{2}{5}Q = -400\ \text{J}, \qquad \Delta U = \tfrac{3}{5}Q = +600\ \text{J}.

Les 2/52/5 de la chaleur fournie repartent en travail pour repousser l'atmosphère ; seuls les 3/53/5 restants chauffent le gaz.

Question 3. À pression constante, δQ=dU+P dV=CV dT+R dT\delta Q = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V = C_V\,\mathrm{d}T + R\,\mathrm{d}T, donc

CP=CV+R=52R≈20,8 J\cdotK−1mol−1.C_P = C_V + R = \tfrac{5}{2}R \approx 20{,}8\ \text{J·K}^{-1}\text{mol}^{-1}.

On retrouve bien Q/ΔT=1000/48,1≈20,8Q/\Delta T = 1000/48{,}1 \approx 20{,}8 J/K. CP>CVC_P > C_V : il faut plus de chaleur pour élever la température à pression constante, car une partie de l'énergie s'échappe en travail.