Exercice corrigé de thermodynamique

Deux systèmes exotiques

Exercice 29 · Leçon 6 — Structure mathématique : les relations fondamentales

relation fondamentale
représentation entropie
détente isentropique
équation d'état
intégration des équations d'état

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

A. Un système satisfait la relation fondamentale molaire

u = \frac{A}{v^2}\,e^{s/R},

avec $A > 0$ constante et $R$ la constante des gaz parfaits ( $u$ , $v$ , $s$ : énergie, volume et entropie molaires). L'état initial est décrit par $(T_0, P_0)$ .

Exprimer $T$ et $P$ en fonction de $u$ et $v$ , et en déduire l'équation d'état reliant $P$ , $v$ et $T$ .
On fait subir au système une détente isentropique jusqu'à ce que la pression soit divisée par deux. Exprimer la température finale en fonction de $T_0$ uniquement.

B. Un autre système vérifie les deux équations d'état $U = PV$ et $P = BT^2$ ( $B > 0$ , nombre de moles fixé).

3.. Déterminer sa relation fondamentale $S(U,V)$ à une constante près.
4.. Vérifier que les deux équations d'état s'en déduisent bien.

Indication

A :

T = \left(\partial u/\partial s\right)_v

P = -\left(\partial u/\partial v\right)_s

; sur une isentropique,

s

est fixé et tout s'exprime en fonction de

v

. B : éliminer

T

pour exprimer

1/T = \left(\partial S/\partial U\right)_V

en fonction de

(U,V)

, intégrer, puis fixer la fonction d'intégration avec

\left(\partial S/\partial V\right)_U = P/T

Solution détaillée

Solution

Question 1.

T = \left(\dfrac{\partial u}{\partial s}\right)_v = \dfrac{u}{R}

P = -\left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)_s = \dfrac{2u}{v}

. En éliminant

u = RT

Pv = 2RT

— un « gaz parfait » de constante double.

Question 2. À $s$ fixé, $u \propto v^{-2}$ , donc $P = 2u/v \propto v^{-3}$ et $T = u/R \propto v^{-2}$ . Diviser $P$ par deux impose $v_f = 2^{1/3}v_0$ , d'où

T_f = T_0\left(\frac{v_0}{v_f}\right)^{2} = 2^{-2/3}\,T_0 \approx 0{,}63\,T_0.

Question 3. $U = PV = BT^2V$ donne $T = \sqrt{U/(BV)}$ , donc

\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V = \frac{1}{T} = \sqrt{\frac{BV}{U}} \implies S = 2\sqrt{BUV} + f(V).

Puis $\left(\partial S/\partial V\right)_U = \sqrt{BU/V} + f'(V)$ doit valoir $P/T = BT = \sqrt{BU/V}$ : donc $f' = 0$ et

S(U,V) = 2\sqrt{BUV} + \text{cste}.

Question 4. $1/T = \partial S/\partial U = \sqrt{BV/U}$ redonne $U = BVT^2$ ; et $P/T = \partial S/\partial V = \sqrt{BU/V}$ redonne $P = T\sqrt{BU/V} = BT^2$ en utilisant la première. On a bien $U = BVT^2 = (BT^2)V = PV$ . \checkmark\ Au passage, $S$ est homogène de degré 1 en $(U,V)$ et concave, comme il se doit.