Exercice corrigé de thermodynamique

La loi de Wien du Soleil au corps humain

Exercice 68 · Leçon 13 — Thermodynamique du rayonnement

corps noir
loi de Wien
loi de Stefan-Boltzmann
Soleil
infrarouge

Énoncé

La longueur d'onde du maximum de la luminance spectrale d'un corps noir vérifie $λ_{m a x} T = b$ , avec $b = 2, 898 \times 1 0^{- 3} m K$ . Sa puissance émise par unité de surface vaut $M = σ T^{4}$ , avec $σ = 5, 670 \times 1 0^{- 8} W m^{- 2} K^{- 4}$ .

Pour deux corps noirs de températures $T_{1}$ et $T_{2}$ , établir les rapports $λ_{m a x, 1} / λ_{m a x, 2}$ et $M_{1} / M_{2}$ .
Effectuer l'application numérique pour le Soleil, à $5772 K$ , et un corps humain à $310 K$ . Calculer leurs longueurs d'onde au maximum et situer celles-ci dans le spectre.
Calculer ensuite leurs puissances surfaciques $M$ .
Expliquer pourquoi la puissance $σ T^{4}$ du corps humain diffère de sa perte radiative nette dans une pièce.

Indication

1 μ m = 1 0^{- 6} m

. Une pièce rayonne elle aussi vers le corps.

Solution détaillée

Solution

1. La loi de Wien donne

λ_{m a x, 1} = \frac{b}{T _{1}}, λ_{m a x, 2} = \frac{b}{T _{2}} .

En divisant membre à membre,

\frac{λ _{m a x, 1}}{λ _{m a x, 2}} = \frac{T _{2}}{T _{1}}

De même, la loi de Stefan-Boltzmann donne

\frac{M _{1}}{M _{2}} = (\frac{T _{1}}{T _{2}})^{4}

Un corps plus chaud émet donc avec un maximum à plus courte longueur d'onde et une puissance surfacique beaucoup plus grande.

2. Pour le Soleil,

λ_{m a x, ⊙} = \frac{2 , 898 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5, 02 \times 1 0^{- 7} m = 502 nm .

Cette longueur d'onde se situe dans le visible, près du vert. Pour le corps humain,

λ_{m a x, h} = \frac{2 , 898 \times 1 0 ^{- 3}}{310} = 9, 35 \times 1 0^{- 6} m = 9, 35 μ m .

Le rayonnement thermique du corps humain est principalement infrarouge.

3. Pour le Soleil,

M_{⊙} = σ T^{4} = 5, 670 \times 1 0^{- 8} \times 577 2^{4} ≃ 6, 29 \times 1 0^{7} W m^{- 2} .

Pour le corps humain,

M_{h} = 5, 670 \times 1 0^{- 8} \times 31 0^{4} ≃ 524 W m^{- 2} .

4. Le corps émet vers les parois et reçoit simultanément leur rayonnement. La perte nette dépend donc de la différence des quatrièmes puissances ainsi que de l'émissivité. Pour une grande enceinte à température $T_{0}$ , $P_{net} = ε σ A (T^{4} - T_{0}^{4})$ .