Exercice corrigé de thermodynamique

Le gaz de photons dans l'Univers

Exercice 30 · Leçon 6 — Structure mathématique : les relations fondamentales

gaz de photons
rayonnement
fond diffus cosmologique
relation fondamentale
détente adiabatique
fonction homogène
potentiel chimique nul

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Aux premiers instants de l'Univers, la matière est un plasma chaud de noyaux, d'électrons et de photons. Vers $T_i \approx 3000$ K, les premiers atomes se forment et les photons deviennent libres : on considère qu'à cet instant le gaz de photons est à l'équilibre à $T_i$ , puis qu'il subit une détente adiabatique réversible au fil de l'expansion de l'Univers. On admet sa relation fondamentale :

S(U,V) = \frac{4}{3}\,a\,V^{1/4}U^{3/4},

avec $a$ une constante dimensionnée positive. On remarque que $S$ ne dépend pas de $N$ : le nombre de photons n'est pas conservé.

Rappeler la définition d'une fonction homogène de degré 1 et montrer que $S$ en est une.
Représenter l'allure de $S$ en fonction de $U$ à $V$ fixé. Concavité ? Commenter.
Déterminer $T$ , $P$ et $\mu$ dans les variables naturelles $(U,V)$ de $S$ . Montrer en particulier que $U = a^4VT^4$ et $P = \dfrac{U}{3V}$ , et commenter la valeur de $\mu$ .
Écrire le premier principe pour ce gaz et le spécialiser à une détente adiabatique réversible. En déduire une relation entre $U$ et $V$ le long de cette transformation.
En déduire que $VT^3 = \text{cste}$ le long de la détente.
Retrouver ce résultat directement à partir de l'entropie exprimée en variables $(T,V)$ .
Le gaz de photons est observé aujourd'hui à $T_f \approx 3$ K (fond diffus cosmologique). De combien le volume de l'Univers a-t-il augmenté depuis l'émission ?

Indication

Représentation entropie :

1/T = \left(\partial S/\partial U\right)_V

P/T = \left(\partial S/\partial V\right)_U

\mu/T = -\partial S/\partial N

. Pour la question 4, adiabatique réversible signifie

\mathrm{d}S = 0

, donc

\mathrm{d}U = -P\,\mathrm{d}V

: séparer les variables.

Solution détaillée

Solution

Question 1.

f

est homogène de degré 1 si

f(\lambda x, \lambda y) = \lambda f(x,y)

pour tout

\lambda

. Ici

S(\lambda U, \lambda V) = \frac{4}{3}a\,\lambda^{1/4}V^{1/4}\lambda^{3/4}U^{3/4} = \lambda S(U,V)

: l'entropie est bien extensive.

Question 2. $S \propto U^{3/4}$ : fonction croissante ( $T > 0$ ) et concave ( $\partial^2 S/\partial U^2 < 0$ ) : l'équilibre du gaz de photons est stable, conformément au second principe.

Question 3.

\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_V = a\left(\frac{V}{U}\right)^{1/4} \implies U = a^4VT^4 ; \qquad \frac{P}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_U = \frac{a}{3}\left(\frac{U}{V}\right)^{3/4} \implies P = \frac{U}{3V},

(en utilisant $(U/V)^{3/4} = a^3T^3$ ). Enfin $S$ ne dépend pas de $N$ : $\mu = -T\,\partial S/\partial N = 0$ . Le potentiel chimique des photons est nul — il ne coûte rien d'en créer, et leur nombre s'ajuste librement à l'équilibre.

Question 4. $\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - P\,\mathrm{d}V$ (le terme $\mu\,\mathrm{d}N$ est absent). Détente adiabatique réversible : $\mathrm{d}S = 0$ , donc

\mathrm{d}U = -P\,\mathrm{d}V = -\frac{U}{3V}\,\mathrm{d}V \implies \frac{\mathrm{d}U}{U} = -\frac{1}{3}\frac{\mathrm{d}V}{V} \implies UV^{1/3} = \text{cste}.

Question 5. En substituant $U = a^4VT^4$ : $a^4VT^4\,V^{1/3} = \text{cste}$ , soit $T^4V^{4/3} = \text{cste}$ , c'est-à-dire $TV^{1/3} = \text{cste}$ , ou encore $VT^3 = \text{cste}$ .

Question 6. $\mathrm{d}S = 0$ signifie $S = \text{cste}$ . Or $S = \frac{4}{3}aV^{1/4}(a^4VT^4)^{3/4} = \frac{4}{3}a^4VT^3$ : la constance de $S$ équivaut directement à $VT^3 = \text{cste}$ . \checkmark

Question 7. $V_f/V_i = (T_i/T_f)^3 = (3000/3)^3 = 10^9$ : le volume a été multiplié par un milliard (soit un facteur 1000 sur les distances). Le rayonnement émis à 3000 K, refroidi par l'expansion, est exactement le fond diffus cosmologique mesuré aujourd'hui à 2,7 K.