Trois relations fondamentales candidates : une seule est plausible

Question 1. La candidate (1) n'est pas extensive (un logarithme ne peut pas être homogène de degré 1) ; de plus $\left(\partial S/\partial U\right) = -k_B/U < 0$ donnerait une température négative. La candidate (2) est bien homogène de degré 1 (chacun des deux termes l'est), mais $1/T = aV/N + bN^3/(U^2V) \to \infty$ quand $U \to 0$ : le zéro absolu y correspond à $U \to 0$, où $S \to -\infty$ au lieu de $0$ — le troisième principe est violé. Reste la candidate (3) : homogène de degré 1 ($\lambda^3/\lambda^2 = \lambda$), et $S = 0$ quand $T = 0$ comme on va le voir.

Question 2. En représentation énergie $U = aS^3/(NV)$ :

$$T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = \frac{3aS^2}{NV}, \qquad P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = \frac{aS^3}{NV^2} = \frac{U}{V}, \qquad \mu = \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} = -\frac{aS^3}{N^2V} = -\frac{U}{N}.$$

Sous l'échelle $\lambda$ : $S^2/(NV) \to \lambda^2/\lambda^2$, $S^3/(NV^2) \to \lambda^3/\lambda^3$, $S^3/(N^2V) \to \lambda^3/\lambda^3$ : les trois sont invariants, donc intensifs. \checkmark

Question 3. $T = 3aS^2/(NV) \geq 0$ pour tout $S$, et $T = 0$ uniquement en $S = 0$ : le troisième principe est satisfait. $U \propto S^3$ est croissante et convexe en $S$ (pour $S>0$) : c'est la condition de stabilité vue en cours.

Question 4. De $T = 3aS^2/(NV)$ on tire $S = \sqrt{TNV/(3a)}$, que l'on injecte dans $P$ :

$$P = \frac{a}{NV^2}\left(\frac{TNV}{3a}\right)^{3/2} \implies P^2 = \frac{NT^3}{27\,aV} \iff 27\,a\,P^2V = NT^3.$$

C'est l'analogue de $PV = Nk_BT$ pour ce système.

Question 5. Adiabatique réversible = isentropique : $S$ et $N$ fixés, donc $U \propto 1/V$ et

$$P = \frac{aS^3}{N}\,\frac{1}{V^2} \implies PV^2 = \text{cste}.$$