Exercice corrigé de thermodynamique

Résistance chauffante dans un cylindre cloisonné

Exercice 18 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

premier principe
piston adiabatique
loi de Laplace
compression adiabatique réversible
bilan d'énergie
hélium

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un cylindre horizontal rigide, aux parois calorifugées, est divisé en deux compartiments $C_1$ et $C_2$ par un piston mobile sans frottement, lui aussi calorifugé. Chaque compartiment contient de l'hélium (gaz parfait monoatomique, $\gamma = 5/3$ ) dans le même état initial : $P_0 = 1{,}0\times10^5$ Pa, $V_0 = 1{,}0$ L, $T_0 = 300$ K. Une résistance électrique placée dans $C_1$ lui apporte de la chaleur très lentement, jusqu'à ce que la pression commune atteigne $P_1 = 1{,}5\times10^5$ Pa. On supposera toutes les transformations quasi-statiques.

Quelle transformation subit le gaz de $C_2$ ? En déduire son volume $V_2$ et sa température $T_2$ finaux.
En déduire le volume $V_1$ et la température $T_1$ finaux du gaz de $C_1$ .
Calculer les variations d'énergie interne $\Delta U_1$ et $\Delta U_2$ . On remarquera que pour un gaz parfait monoatomique, $U = \frac{3}{2}PV$ .
En appliquant le premier principe au système global $\{C_1 + C_2\}$ , déterminer la chaleur $Q$ fournie par la résistance. Vérifier la cohérence en appliquant le premier principe à $C_2$ seul, puis à $C_1$ seul.

Indication

Le gaz de

C_2

n'échange aucune chaleur (piston et parois calorifugés) et est comprimé de façon quasi-statique : c'est une adiabatique réversible, la loi de Laplace

PV^\gamma = \text{cste}

s'applique. Le volume total

V_1 + V_2 = 2V_0

est fixé. Pour le système global, les parois externes sont rigides : seul

Q

entre.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Le gaz de

C_2

est comprimé lentement, sans frottement et sans échange de chaleur : il subit une compression adiabatique réversible. Loi de Laplace :

V_2 = V_0\!\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{1/\gamma} = 1{,}0\times\left(\frac{1}{1{,}5}\right)^{3/5} \approx 0{,}78\ \text{L}, \qquad T_2 = T_0\,\frac{P_1V_2}{P_0V_0} \approx 353\ \text{K}.

Question 2. Le cylindre est rigide : $V_1 = 2V_0 - V_2 \approx 1{,}22$ L, et l'équation d'état donne

T_1 = T_0\,\frac{P_1V_1}{P_0V_0} = 300 \times 1{,}5 \times 1{,}22 \approx 547\ \text{K}.

Question 3. Avec $U = \tfrac{3}{2}PV$ :

\Delta U_1 = \tfrac{3}{2}(P_1V_1 - P_0V_0) \approx \tfrac{3}{2}(182{,}4 - 100) \approx 124\ \text{J}, \qquad \Delta U_2 = \tfrac{3}{2}(P_1V_2 - P_0V_0) \approx \tfrac{3}{2}(117{,}6 - 100) \approx 26\ \text{J}.

Question 4. Le système global n'échange aucun travail (parois externes rigides) et reçoit uniquement $Q$ :

Q = \Delta U_1 + \Delta U_2 = \tfrac{3}{2}(P_1 - P_0)(2V_0) = \tfrac{3}{2}\times 0{,}5\times10^5 \times 2\times10^{-3} = 150\ \text{J}.

Cohérence : $C_2$ est adiabatique, donc $W_2 = \Delta U_2 \approx 26$ J est le travail que lui fournit le piston. Le gaz de $C_1$ reçoit $Q$ de la résistance et cède ce travail au piston : $\Delta U_1 = Q - W_2 \approx 150 - 26 = 124$ J. \checkmark

On note l'efficacité du bilan global : nul besoin de connaître le détail des échanges internes pour trouver $Q$ .