Exercice corrigé de thermodynamique

Deux gaz séparés par une paroi interne

Exercice 10 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

premier principe
système isolé
paroi diatherme
paroi mobile
équilibre thermique
équilibre mécanique

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un récipient rigide, isolé de l'extérieur, contient deux gaz parfaits monoatomiques séparés par une paroi interne initialement fixe, étanche et adiabatique. Le compartiment 1 contient $n_1$ moles à la température $T_1$ ; le compartiment 2 contient $n_2 = 4n_1$ moles à $T_2 = T_1/2$ . Les deux compartiments ont le même volume $V$ .

Exprimer les pressions initiales $P_1$ et $P_2$ et montrer que $P_2 = 2P_1$ .
À $t=0$ , la paroi devient diatherme (mais reste fixe et étanche). En appliquant le premier principe au système global, déterminer la température finale $T_f$ et les pressions finales de chaque compartiment, en fonction de $T_1$ et $P_1$ .
Quelle énergie a été échangée entre les deux compartiments (en fonction de $n_1$ , $R$ , $T_1$ ) ? Sous quelle forme ?
On suppose maintenant qu'à $t=0$ la paroi devient diatherme et mobile. Déterminer la température, la pression commune et les volumes finaux. Comparer les variations d'énergie interne de chaque gaz à celles de la question 2 et commenter la forme des échanges d'énergie.
Application numérique pour $n_1 = 1$ mol, $T_1 = 600$ K.

Indication

Le système global est isolé (parois externes rigides et adiabatiques) :

\Delta U_1 + \Delta U_2 = 0

dans tous les cas. Pour la question 4, l'équilibre impose l'égalité des températures et des pressions.

Solution détaillée

Solution

Question 1.

P_1 = \dfrac{n_1RT_1}{V}

P_2 = \dfrac{4n_1R\,(T_1/2)}{V} = 2P_1

Question 2. Le système global n'échange ni travail (parois externes rigides) ni chaleur (parois adiabatiques) : $\Delta U_1 + \Delta U_2 = 0$ , soit

\tfrac{3}{2}n_1R(T_f - T_1) + \tfrac{3}{2}\,4n_1R\!\left(T_f - \tfrac{T_1}{2}\right) = 0 \implies 5T_f = 3T_1 \implies T_f = \tfrac{3}{5}T_1.

Les volumes n'ont pas changé, donc $P_1^f = P_1\,\dfrac{T_f}{T_1} = \tfrac{3}{5}P_1$ et $P_2^f = 2P_1\,\dfrac{T_f}{T_2} = \tfrac{12}{5}P_1$ .

Question 3. Le gaz 2 (le plus froid) reçoit

Q = \Delta U_2 = 6n_1R\!\left(\tfrac{3}{5}T_1 - \tfrac{1}{2}T_1\right) = \tfrac{3}{5}n_1RT_1,

et le gaz 1 cède exactement l'opposé. La paroi étant fixe, aucun travail n'est échangé : ce transfert se fait intégralement sous forme de chaleur.

Question 4. Le bilan global est inchangé : $\Delta U_1 + \Delta U_2 = 0$ , et comme $U$ ne dépend que de $T$ pour un gaz parfait, on retrouve la même température finale $T_f = \tfrac{3}{5}T_1$ . L'équilibre mécanique impose de plus une pression commune :

P = \frac{(n_1+n_2)RT_f}{2V} = \frac{5n_1R\cdot\tfrac{3}{5}T_1}{2V} = \tfrac{3}{2}P_1,

avec $V_1^f = \dfrac{n_1RT_f}{P} = \tfrac{2V}{5}$ et $V_2^f = \tfrac{8V}{5}$ : la paroi s'est déplacée vers le gaz 1. Les variations d'énergie interne sont identiques à celles de la question 2 ( $\Delta U_i = \tfrac{3}{2}n_iR\,\Delta T_i$ , mêmes températures extrêmes), mais cette fois l'énergie s'est échangée à la fois sous forme de chaleur et de travail : seul le bilan $Q + W = \Delta U$ est contraint, pas la répartition.

Question 5. $T_f = 360$ K et $|Q| = \tfrac{3}{5}\times 8{,}314 \times 600 \approx 3{,}0$ kJ.