Énoncé

Deux blocs indéformables A et B ont des capacités thermiques totales constantes $C_A>0$ et $C_B>0$ . Leurs températures initiales sont $T_{A,0}>T_{B,0}>0$ . Chaque bloc reste à une température uniforme, mais celle-ci peut varier lorsqu'il échange de la chaleur. Il n'y a aucun changement de phase.

On fait fonctionner une machine thermique entre les deux blocs, sans les mettre directement en contact. Elle prélève de la chaleur au bloc A, en cède une partie au bloc B et fournit du travail à l'extérieur. L'ensemble « blocs + machine » n'échange aucune chaleur avec l'extérieur. La machine revient au même état après chaque cycle : elle n'accumule ni énergie ni entropie. On cherche le travail maximal récupérable en exploitant l'écart initial de température.

On étudie pour cela la limite d'une succession de cycles réversibles infiniment petits. Au cours de chacun, les températures instantanées $T_A$ et $T_B$ varient infiniment peu. On adopte la convention du banquier : une énergie est positive lorsqu'elle est reçue par le système considéré. On note $\delta Q_A$ et $\delta Q_B$ les chaleurs reçues par la machine respectivement depuis A et B, et $\delta W$ le travail reçu par la machine. En fonctionnement moteur, $\delta Q_A>0$ , $\delta Q_B<0$ et $\delta W<0$ . Les chaleurs reçues par les blocs sont donc respectivement $-\delta Q_A$ et $-\delta Q_B$ .

Écrire les bilans énergétiques des blocs et de la machine sur un cycle infinitésimal. À l'aide du rendement de Carnot, exprimer $\delta Q_B$ en fonction de $\delta Q_A,T_A,T_B$ . Montrer que A refroidit et que B se réchauffe. Comment évoluent l'écart de température et le rendement au fil des cycles ? À quelle condition cesse-t-on de pouvoir produire du travail ?
Établir une relation entre $\mathrm dT_A/T_A$ et $\mathrm dT_B/T_B$ , puis l'intégrer depuis l'état initial. En déduire la température commune finale $T_r$ . Pourquoi ne peut-on pas traiter les deux blocs comme des thermostats aux températures constantes $T_{A,0}$ et $T_{B,0}$ ?
Calculer le travail total reçu $W_{\mathrm{rev}}$ au cours de ce fonctionnement réversible, puis sa valeur absolue $|W_{\mathrm{rev}}|$ , qui est le travail maximal récupérable à l'extérieur. Simplifier $T_r$ et $W_{\mathrm{rev}}$ lorsque $C_A=C_B=C$ ; écrire alors $|W_{\mathrm{rev}}|$ sous une forme manifestement positive.
Application numérique : les deux blocs sont en fer, de masse $m=1{,}0\ \mathrm{kg}$ chacun, initialement à $60\,{}^\circ\mathrm C$ pour A et $20\,{}^\circ\mathrm C$ pour B. On prendra la capacité thermique massique du fer constante, $c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Calculer le travail maximal récupérable $|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Indication

Sur chaque cycle infinitésimal, le rendement vaut

1-T_B/T_A

, avec les températures du moment, et s'écrit

|\delta W|/\delta Q_A

. Pour le bilan global, appliquer

\Delta U=Q+W

à l'ensemble « blocs + machine », avec

Q=0

et

W<0

.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Les blocs sont indéformables et ne reçoivent pas de travail. Leurs variations d'énergie sont donc les chaleurs reçues :

C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

La machine revient à son état initial. Son bilan énergétique donne $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$ , soit

\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

Le rendement est le rapport du travail récupéré à la chaleur reçue de A. Puisque $\delta W<0$ , on a $|\delta W|=-\delta W$ , donc

\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

Le bloc A reçoit $-\delta Q_A<0$ et le bloc B reçoit $-\delta Q_B>0$ . Les capacités étant positives, $\mathrm dT_A<0$ et $\mathrm dT_B>0$ . L'écart diminue donc :

\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

Le rapport $T_B/T_A$ augmente, puisque son numérateur augmente et son dénominateur diminue. Le rendement $1-T_B/T_A$ baisse progressivement. Lorsque $T_A=T_B$ , il devient nul : l'écart de température est épuisé et aucun moteur cyclique entre ces blocs ne peut plus fournir de travail.

Question 2. Les bilans des blocs donnent

\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A

et

\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B

. Remplaçons dans la relation précédente :

-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

En changeant de signe, puis en divisant par $T_B$ ,

C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

Intégrons depuis les températures initiales jusqu'aux températures atteintes après un nombre quelconque de cycles :

C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

La primitive de $1/T$ est $\ln T$ ; l'évaluation aux bornes donne

C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

Cette relation traduit la conservation de l'entropie totale dans le fonctionnement réversible. À l'arrêt, $T_A=T_B=T_r$ . En écrivant $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ ,

(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

Diviser par $C_A+C_B$ puis exponentier donne

\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

Les capacités des blocs sont limitées : toute chaleur échangée modifie leur température selon $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{bloc}}/C$ , où $\delta Q_{\mathrm{bloc}}$ est la chaleur reçue par le bloc considéré. Le rendement initial ne reste donc pas valable pendant toute l'expérience. L'approximation de températures constantes ne vaut que sur chaque cycle infinitésimal, avec les nouvelles températures à chaque fois.

Question 3. L'ensemble « blocs + machine » est adiabatique, mais fournit du travail : il n'est pas isolé. La machine ne stockant pas d'énergie, le premier principe donne

C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

Le travail reçu par l'ensemble est celui reçu par la machine. En regroupant les termes,

W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

Le travail récupéré à l'extérieur est sa valeur absolue :

\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

Chaque produit $CT$ a l'unité d'une énergie, le joule. Pour comprendre pourquoi la réversibilité donne le maximum, considérons une machine produisant de l'entropie et aboutissant à une température commune $T_*$ . Le bilan entropique des blocs impose

C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

En soustrayant le bilan réversible, égal à zéro, il reste $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ , donc $T_*\geq T_r$ . Le travail reçu dans ce fonctionnement moteur vaut $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ , d'où

W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

Ainsi $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$ : le travail reçu est le plus négatif dans le cas réversible. Sa valeur absolue est donc maximale, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Pour

C_A=C_B=C

, l'exposant vaut

1/2

, d'où

T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

On reconnaît l'identité $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ . Le travail s'annule si les températures initiales sont égales.

Question 4. La capacité donnée est massique. La capacité totale de chacun des blocs vaut donc

C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Les températures sous les racines doivent être exprimées en kelvins :

T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

En remplaçant dans le résultat de la question 3,

|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

Le travail maximal récupérable est donc d'environ $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ . En convention du banquier, le travail reçu par la machine est $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ : le signe négatif indique qu'elle cède cette énergie à l'extérieur.