Rendement et coefficients de performance : les bornes de Carnot par l'inégalité de Clausius

Question 1. Les trois fonctionnements se distinguent par le sens réel des transferts.

• En moteur, le fluide reçoit de la chaleur du thermostat chaud, en cède au thermostat froid et fournit du travail : $Q_{\mathrm{C}}>0$, $Q_{\mathrm{F}}<0$ et $W<0$.
• En réfrigérateur comme en pompe à chaleur, le fluide reçoit du travail, prélève de la chaleur au thermostat froid et en cède au thermostat chaud : $W>0$, $Q_{\mathrm{F}}>0$ et $Q_{\mathrm{C}}<0$. Les deux machines sont identiques ; seul change le service attendu, refroidir le thermostat froid ou chauffer le thermostat chaud.

Sur un cycle, le fluide revient à son état initial, donc son énergie interne ne varie pas : $\Delta U=0$. Le premier principe $\Delta U=Q+W$ donne, dans les trois cas,

$$Q_{\mathrm{C}}+Q_{\mathrm{F}}+W=0.$$

Question 2. En moteur, $W<0$, donc $|W|=-W$. Le premier principe donne $-W=Q_{\mathrm{C}}+Q_{\mathrm{F}}$, d'où

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{C}}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}+Q_{\mathrm{F}}}{Q_{\mathrm{C}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{F}}}{Q_{\mathrm{C}}}.$$

En réfrigérateur ou en pompe à chaleur, $W>0$ et le premier principe donne $W=-Q_{\mathrm{C}}-Q_{\mathrm{F}}$. Comme $Q_{\mathrm{C}}<0$, on a $|Q_{\mathrm{C}}|=-Q_{\mathrm{C}}$. Ainsi

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}=\frac{Q_{\mathrm{F}}}{-Q_{\mathrm{C}}-Q_{\mathrm{F}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}=\frac{-Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{C}}-Q_{\mathrm{F}}}.$$

Puisque $-Q_{\mathrm{C}}=W+Q_{\mathrm{F}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}=\frac{W+Q_{\mathrm{F}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{F}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}.$$

En moteur, $Q_{\mathrm{F}}<0$ et $Q_{\mathrm{C}}>0$, donc $Q_{\mathrm{F}}/Q_{\mathrm{C}}<0$ et $\eta <1$ : le travail fourni ne peut pas dépasser la chaleur reçue, ce que le premier principe suffit à garantir. Un coefficient de performance, au contraire, peut dépasser $1$ : une pompe à chaleur ne fabrique pas la chaleur qu'elle cède, elle la déplace du froid vers le chaud, et le travail reçu n'en est qu'une partie. On a même toujours ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}>1$, puisque ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}>0$.

Question 3. Le fluide décrit un cycle en n'échangeant de la chaleur qu'avec les deux thermostats. L'inégalité de Clausius s'écrit

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}+\frac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{F}}}\le 0,$$

avec égalité si et seulement si le cycle est réversible. Isolons le terme froid, puis multiplions par $T_{\mathrm{F}}>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

$$\frac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{F}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{F}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

En moteur, $Q_{\mathrm{C}}>0$ : divisons par $Q_{\mathrm{C}}$, ce qui conserve encore le sens de l'inégalité,

$$\frac{Q_{\mathrm{F}}}{Q_{\mathrm{C}}}\le -\frac{T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

En reportant dans l'expression de la question 2,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{F}}}{Q_{\mathrm{C}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

L'égalité est atteinte si et seulement si l'inégalité de Clausius est une égalité, c'est-à-dire pour un cycle réversible : on retrouve le premier et le troisième théorème de Carnot sans aucune hypothèse sur le fluide de travail. Enfin, $\eta =1$ exigerait $Q_{\mathrm{F}}=0$ ; l'inégalité de Clausius deviendrait alors $Q_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{C}}\le 0$, ce qui contredit $Q_{\mathrm{C}}>0$. C'est l'énoncé de Kelvin–Planck : un moteur doit obligatoirement céder de la chaleur au thermostat froid.

Question 4. Partons cette fois de l'inégalité de Clausius en isolant le terme chaud, puis multiplions par $T_{\mathrm{C}}>0$ :

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{F}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{F}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{F}}}⟹-Q_{\mathrm{C}}\ge Q_{\mathrm{F}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{F}}},$$

le sens de l'inégalité s'inversant lors du passage aux opposés. Ajoutons $-Q_{\mathrm{F}}$ aux deux membres et utilisons $W=-Q_{\mathrm{C}}-Q_{\mathrm{F}}$ :

$$W\ge Q_{\mathrm{F}}\left(\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{F}}}-1\right)=Q_{\mathrm{F}}\frac{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{F}}}.$$

Les deux membres sont positifs. Divisons par $W>0$, puis multiplions par $T_{\mathrm{F}}/(T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}})>0$ :

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{F}}}{W}\frac{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{F}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}=\frac{Q_{\mathrm{F}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}}.$$

Avec la relation de la question 2,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{PAC}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}}=\frac{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}+T_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}}=\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}}.$$

Comme pour le moteur, ces bornes ne sont atteintes que par une machine réversible.

Question 5. Lorsque $T_{\mathrm{F}}\to T_{\mathrm{C}}$, la borne du rendement $1-T_{\mathrm{F}}/T_{\mathrm{C}}$ tend vers $0$ : sans écart de température, aucun travail ne peut être produit. Les bornes des deux COP, dont le dénominateur $T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{F}}$ tend vers $0$, tendent au contraire vers l'infini : déplacer de la chaleur entre deux corps à la même température ne coûte, à la limite réversible, aucun travail. Lorsque $T_{\mathrm{F}}\to 0$, la borne du rendement tend vers $1$, et celle du ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}$ tend vers $0$ : extraire de la chaleur d'un corps de plus en plus froid coûte de plus en plus de travail par joule extrait : refroidir vers le zéro absolu devient de plus en plus coûteux. Question 6. Pour le réfrigérateur,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Pour le congélateur,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Le travail dépensé par joule de chaleur extraite vaut $W/Q_{\mathrm{F}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{frigo}}$. Le rapport des deux dépenses minimales est donc $18,5/6,7\approx 2,8$ : même idéal, le congélateur dépense près de trois fois plus de travail que le réfrigérateur pour extraire la même chaleur, parce que l'écart de température à franchir est plus de deux fois plus grand. Les appareils réels, irréversibles, restent nettement en dessous de ces bornes.