Exercice corrigé de thermodynamique

Cycle de Carnot complet d'un gaz parfait

Exercice 56 · Leçon 10 — Machines thermiques

cycle de Carnot
machine thermique
gaz parfait
rendement
isotherme
adiabatique

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

De l'air ( $\gamma = 1{,}40$ ) parcourt le cycle de Carnot réversible ABCD entre une source chaude $T_c = 500$ K et une source froide $T_f = 300$ K. On donne $n = 1{,}0$ mol et, sur l'isotherme chaude BC, $V_B = 5{,}0$ L et $V_C = 17$ L. Les transformations AB et CD sont adiabatiques réversibles ; BC et DA sont isothermes réversibles.

Calculer $Q_{BC}$ (chaleur reçue de la source chaude) et $Q_{DA}$ (chaleur cédée à la source froide).
En utilisant les adiabatiques, montrer que $V_D/V_A = V_C/V_B$ et calculer $V_A$ sachant que $V_D = 24$ L.
Calculer le travail net $W$ par cycle et le rendement $\eta$ . Comparer à $\eta_C = 1 - T_f/T_c$ .
Montrer que $\eta$ ne dépend que de $T_c$ et $T_f$ , pas du gaz de travail.

Indication

Isotherme :

Q = nRT\ln(V_{\text{final}}/V_{\text{initial}})

pour une expansion. Adiabatique :

TV^{\gamma-1} = \text{cste}

, d'où

V_A/V_D = V_C/V_B

Solution détaillée

Solution

Question 1. Expansion isotherme à

T_c

(

B \to C

) :

Q_{BC} = nRT_c\ln(V_C/V_B) = 8{,}314\times500\times\ln(17/5) \approx +5{,}09

kJ (chaleur absorbée). Compression isotherme à

T_f

(de

D

vers

A

) :

Q_{DA} = nRT_f\ln(V_A/V_D) < 0

; on calcule

V_A

à la question 2.

Question 2. Sur AB : $T_f V_A^{\gamma-1} = T_c V_B^{\gamma-1}$ , soit $(V_A/V_B)^{\gamma-1} = T_c/T_f$ . Sur CD : $T_c V_C^{\gamma-1} = T_f V_D^{\gamma-1}$ , soit $(V_D/V_C)^{\gamma-1} = T_c/T_f$ . Les deux membres de droite étant identiques, $V_A/V_B = V_D/V_C$ , c'est-à-dire $V_A/V_D = V_B/V_C$ (attention à ne pas inverser ce rapport). Donc

V_A = V_D\,\frac{V_B}{V_C} = 24\times\frac{5}{17} \approx 7{,}06\ \text{L},

une valeur cohérente avec le sens de parcours du cycle : $V_A$ doit être compris entre $V_B = 5$ L (après la compression adiabatique $A\to B$ , donc $V_A > V_B$ ) et $V_D = 24$ L (avant la compression isotherme $D\to A$ , donc $V_A < V_D$ ). Alors $Q_{DA} = nRT_f\ln(V_A/V_D) = 8{,}314\times300\times\ln(5/17) \approx -3{,}05$ kJ.

Question 3. Premier principe sur le cycle : le travail net fourni par le gaz vaut $|W| = Q_{BC} - |Q_{DA}| \approx 5{,}09 - 3{,}05 = 2{,}04$ kJ. $\eta = |W|/Q_{BC} \approx 0{,}40 = 40\,\% = 1 - T_f/T_c$ . \checkmark

Question 4. Les chaleurs sur les isothermes valent $Q = nR T \ln r$ ; leur rapport $Q_{DA}/Q_{BC} = -T_f/T_c$ indépendamment de $r$ , $n$ et $\gamma$ . D'où $\eta = 1 + Q_{DA}/Q_{BC} = 1 - T_f/T_c$ : universalité du rendement de Carnot.