Énoncé

Lors d’une journée chaude et sèche, un grand arbre disposant d’une alimentation suffisante en eau peut évapotranspirer un volume d’environ $500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3$ . La transpiration ayant principalement lieu à la lumière, on supposera qu’elle se répartit sur une durée de douze heures. On considère enfin que le feuillage de l’arbre couvre au sol une surface $A_{\text{arbre}}=50\,\text{m}^2$ . On donne la masse volumique de l'eau et sa chaleur latente de vaporisation à pression atmosphérique :

\begin{aligned} \rho_{\text{eau}}&=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, &L_v&=2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

Calculer la masse d'eau évapotranspirée par l'arbre pendant la journée, puis l'énergie nécessaire pour vaporiser cette eau.
Expliquer pourquoi cela produit un effet refroidissant.
Calculer la puissance refroidissante moyenne de l'arbre par mètre carré, pendant les douze heures de transpiration active.
Pour comparaison, on considère un climatiseur alimenté par une puissance électrique $P_{\mathrm{elec}}=7{,}0\times10^2\,\text{W}$ , de coefficient de performance frigorifique $\mathrm{COP}=3{,}0$ , refroidissant une pièce de surface $A_{\mathrm{piece}}=20\,\text{m}^2$ . Par définition, $\mathrm{COP}=\frac{P_{\text{froid}}}{P_{\mathrm{elec}}},$ où $P_{\text{froid}}$ est la puissance thermique extraite de la pièce. Calculer la puissance frigorifique $P_{\text{froid}}$ du climatiseur, puis sa puissance frigorifique par mètre carré de pièce. Comparer avec les résultats obtenus pour l'arbre.
Pourquoi ne peut-on pas conclure que l'arbre et le climatiseur produisent exactement le même refroidissement ressenti, même si leurs puissances par unité de surface ont le même ordre de grandeur ?
À votre avis, peut-on refroidir chez soi avec de nombreuses plantes d'intérieur ? (Culture générale : la réponse dépend de processus biologiques.)

Indication

Utiliser

m=\rho V

,

Q_{\mathrm{evap}}=mL_v

et

P=Q/\tau

. Pour le climatiseur,

P_{\text{froid}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{elec}}

.

Solution détaillée

Solution

1. Le volume évapotranspiré vaut

500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3

. La masse d'eau correspondante est

m=\rho_{\text{eau}}V =1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1} =5{,}0\times10^2\,\text{kg}.

L'énergie nécessaire pour vaporiser cette eau vaut donc

Q_{\mathrm{evap}}=mL_v =5{,}0\times10^2\times2{,}26\times10^6 =1{,}13\times10^9\,\text{J}.

L'ordre de grandeur est donc le gigajoule.

2. La vaporisation est un changement d'état endothermique : elle nécessite l'énergie

Q_{\mathrm{evap}}

. Cette énergie provient essentiellement du rayonnement solaire absorbé par le feuillage : au lieu d'échauffer la feuille (chaleur sensible), l'énergie solaire reçue est convertie en chaleur latente de vaporisation. La feuille reste ainsi plus fraîche que si toute l'énergie absorbée s'était traduite par une élévation de sa température, d'où l'effet refroidissant de l'évapotranspiration. 3. Douze heures correspondent à

\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}.

La puissance refroidissante moyenne de l'arbre pendant cette période vaut

P_{\text{arbre}}=\frac{Q_{\mathrm{evap}}}{\tau} =\frac{1{,}13\times10^9}{4{,}32\times10^4} \approx2{,}62\times10^4\,\text{W}.

Rapportée aux $50\,\text{m}^2$ couverts par le feuillage,

\frac{P_{\text{arbre}}}{A_{\text{arbre}}} =\frac{2{,}62\times10^4}{50} \approx5{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

Vérification de vraisemblance : cette énergie provenant essentiellement du rayonnement solaire absorbé (question 2), il est rassurant de constater que $5{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}$ est du même ordre de grandeur que l'éclairement solaire reçu au sol par temps clair, de l'ordre de $10^3\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}$ au maximum et de quelques centaines de $\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}$ en moyenne sur la journée. Cela confirme qu'un arbre bien alimenté en eau, lors d'une journée chaude et ensoleillée, peut évacuer par transpiration une fraction substantielle de l'énergie solaire qu'il reçoit.

4. La puissance frigorifique utile du climatiseur est

P_{\text{froid}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{elec}} =3{,}0\times7{,}0\times10^2 =2{,}1\times10^3\,\text{W}.

Rapportée à la surface de la pièce,

\frac{P_{\text{froid}}}{A_{\mathrm{piece}}} =\frac{2{,}1\times10^3}{20} \approx1{,}1\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

Dans ce modèle, l'évapotranspiration est donc environ cinq fois plus puissante, par unité de surface, qu'un climatiseur résidentiel ordinaire.

5. La comparaison porte uniquement sur des flux d'énergie. Le climatiseur refroidit un volume fermé et contrôlé, tandis que la vapeur produite par l'arbre se disperse dans l'atmosphère, et le vent ramène de l'air chaud. L'effet ressenti dépend donc de la ventilation, de l'humidité et de la température ambiante, ainsi que de la distance à l'arbre. La transpiration varie aussi avec l'ensoleillement, le vent, l'humidité de l'air, l'espèce et l'eau disponible ; elle peut fortement diminuer en période de sécheresse. D'un autre côté, l'arbre apporte également de l'ombre, ce qui réduit directement le rayonnement solaire reçu par le sol et les personnes. Les puissances calculées permettent donc une comparaison d'ordre de grandeur, mais pas une équivalence exacte de confort thermique. 6. En pratique, l'effet refroidissant de plantes d'intérieur resterait très faible. La raison n'est pas physique mais biologique : chez la plupart des plantes, la lumière favorise l'ouverture des stomates, petits pores des feuilles par lesquels s'échappe la vapeur d'eau. Or l'éclairement intérieur est généralement faible : les stomates s'ouvrent moins et la transpiration diminue. De plus, dans une pièce peu ventilée, l'augmentation de l'humidité de l'air ralentit progressivement l'évaporation. De nombreuses plantes peuvent donc produire un léger refroidissement évaporatif local, mais elles ne remplacent pas un climatiseur. Pour évacuer durablement l'énergie du logement, il faudrait renouveler l'air humide vers l'extérieur. Un éclairage artificiel intense stimulerait éventuellement la transpiration, mais son énergie électrique finirait elle-même presque entièrement sous forme de chaleur dans la pièce. Certaines plantes adaptées aux milieux arides, dites plantes CAM, dont les cactus, constituent une exception au comportement habituel : leurs stomates s'ouvrent principalement la nuit.