Exercice corrigé de thermodynamique

Mélange de deux masses d'eau

Exercice 3 · Leçon 2 — Historique de la thermodynamique et de la calorimétrie

  • calorimétrie
  • mélange
  • capacité thermique
  • chaleur spécifique
  • Joseph Black
  • température d'équilibre

Énoncé

On verse m1=0,200 kgm_1 = 0{,}200\,\text{kg} d'eau à T1=80 ∘CT_1 = 80\,^\circ\text{C} dans un récipient contenant déjà m2=0,300 kgm_2 = 0{,}300\,\text{kg} d'eau à T2=15 ∘CT_2 = 15\,^\circ\text{C}. Le récipient est un calorimètre idéal : on néglige toute perte de chaleur vers l'extérieur ainsi que la capacité thermique du récipient lui-même. On rappelle la relation

Q=mcΔT,Q = mc\Delta T,

où c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c = 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} est la capacité thermique massique de l'eau liquide.

  1. Justifier que la chaleur cédée par l'eau chaude est intégralement reçue par l'eau froide : écrire cette conservation sous la forme d'une équation faisant intervenir m1m_1, m2m_2, cc, T1T_1, T2T_2 et la température d'équilibre TeqT_{eq}.
  2. En déduire l'expression littérale de TeqT_{eq}, puis sa valeur numérique.
  3. Calculer la quantité de chaleur QQ cédée par l'eau chaude au cours de ce mélange.
  4. De tels mélanges d'une même substance permettent-ils de déterminer la valeur de cc ? Justifier.

Indication
Le calorimètre étant isolé et rigide, l'énergie interne totale U1+U2U_1 + U_2 se conserve : la chaleur cédée par l'un est reçue par l'autre au signe près.

Solution détaillée

Solution
1. Le calorimètre étant isolé (parois adiabatiques et rigides vers l'extérieur), l'énergie interne totale du système {\{eau chaude, eau froide}\} est conservée : ce que perd l'une, l'autre le gagne exactement. Avec la convention Q=mcΔTQ = mc\Delta T appliquée à chaque masse d'eau entre son état initial et l'équilibre,

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1 c (T_{eq} - T_1) + m_2 c (T_{eq} - T_2) = 0.

2. Le coefficient cc se simplifie (même substance des deux côtés), et on obtient

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}200 \times 80 + 0{,}300 \times 15}{0{,}200 + 0{,}300} = 41\,^\circ\text{C}.

3. La chaleur cédée par l'eau chaude en refroidissant de 80 ∘C80\,^\circ\text{C} à 41 ∘C41\,^\circ\text{C} vaut

Q=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q = m_1 c (T_1 - T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

On vérifie que l'eau froide reçoit exactement cette même quantité en s'échauffant de 15 ∘C15\,^\circ\text{C} à 41 ∘C41\,^\circ\text{C} :

m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.m_2c(T_{eq}-T_2) =0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Non. Pour deux masses de la même substance, le même coefficient cc multiplie les deux termes du bilan

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0

et se simplifie. La température d'équilibre mesurée ne dépend donc pas de cc : elle est uniquement la moyenne des températures initiales pondérée par les masses. Un tel mélange ne permet pas de déterminer cc. Pour mesurer une capacité thermique massique par la méthode des mélanges, il faut introduire une substance de capacité thermique connue, comme dans l'exercice suivant.