Exercice corrigé de thermodynamique

De la glace froide à l'eau bouillante : ordres de grandeur

Exercice 1 · Leçon 2 — Historique de la thermodynamique et de la calorimétrie

  • calorimétrie
  • changement d'état
  • fusion
  • vaporisation
  • chaleur latente
  • ordre de grandeur

Énoncé

Données numériques (à la pression atmosphérique) :

cglace=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,ceau=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{glace}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{eau}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

À la pression atmosphérique, on chauffe progressivement un kilogramme de glace, initialement à −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}.

  1. Calculer l'énergie nécessaire pour amener la glace de −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} à 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  2. Calculer l'énergie nécessaire pour faire fondre entièrement la glace à 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  3. Calculer l'énergie nécessaire pour chauffer l'eau liquide de 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} à 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  4. Calculer l'énergie supplémentaire nécessaire pour vaporiser entièrement l'eau à 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  5. Quelle étape demande le plus d'énergie ? Comparer l'énergie du chauffage de 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} à 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} d'un kilogramme d'eau à l'énergie potentielle d'une masse mm tombant de dix mètres de haut. Quelle masse mm faut-il ainsi faire tomber pour égaler cette énergie ?
  6. On considère maintenant le processus inverse. Une masse mvm_v de vapeur d'eau se condense sur un pare-brise, sans que l'eau liquide obtenue se refroidisse ensuite. Exprimer la chaleur QlibQ_{\text{lib}} libérée lors de la condensation, puis la calculer pour mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}. À la température du pare-brise, on prendra Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

Indication
Pour chauffer une phase sans changement d'état, utiliser Q=mcΔTQ=mc\Delta T. Pour un changement d'état à température constante, utiliser Q=mLQ=mL. L'énergie potentielle de pesanteur d'une masse mm située à une hauteur hh vaut Ep=mghE_p=mgh ; on prendra g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.

Solution détaillée

Solution
1. Le chauffage de la glace jusqu'à sa température de fusion demande

Q1=mcglaceΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{glace}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Pendant la fusion, la température reste égale à 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} :

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Pour chauffer l'eau liquide de 00 à 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C},

Q3=mceauΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\text{eau}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. La vaporisation complète demande encore

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 J.Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Cette étape demande donc à elle seule une énergie de l'ordre de quelques mégajoules.

5. La vaporisation est de loin l'étape la plus coûteuse :

Q4=2,26×106 J>Q3=4,18×105 J>Q2=3,34×105 J>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

La vaporisation exige notamment environ (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 fois plus d'énergie que le chauffage de l'eau liquide de 00 à 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.

Pour une masse mm tombant d'une hauteur h=10 mh=10\,\text{m}, l'énergie potentielle libérée vaut

Ep=mgh.E_p=mgh.

On cherche la masse telle que mgh=Q3mgh=Q_3. Ainsi,

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Il faudrait donc faire tomber d'une hauteur de dix mètres une masse d'environ 4,34{,}3 tonnes pour libérer autant d'énergie que celle nécessaire au chauffage d'un kilogramme d'eau de 00 à 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} ! C'est énorme et cela explique pourquoi le chauffage de l'eau représente une part importante de la consommation énergétique domestique. On remarque aussi que la capacité thermique de l'eau est très grande, en particulier vis-à-vis de celle des métaux usuels (elle est, par exemple, environ dix fois plus grande que celle du cuivre ; voir les exercices suivants).

6. La condensation est le processus inverse de la vaporisation : la vapeur cède au pare-brise la chaleur latente

Qlib=mvLv.Q_{\text{lib}}=m_vL_v.

Pour mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg},

Qlib=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{lib}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

Ainsi, la condensation d'une faible masse de vapeur peut libérer une quantité de chaleur non négligeable. Cette chaleur est reçue par le pare-brise et son environnement.