Exercice corrigé de thermodynamique

Relation de Mayer : Cp−Cv=nRC_p - C_v = nR

Exercice 40 · Leçon 8 — Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

  • coefficients calorimétriques
  • Cp
  • Cv
  • relation de Mayer
  • gaz parfait
  • coefficient de dilatation

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On considère un gaz parfait de nn moles. On rappelle que Cp=(∂H/∂T)PC_p = \left(\partial H/\partial T\right)_P et Cv=(∂U/∂T)VC_v = \left(\partial U/\partial T\right)_V, et que H=U+PVH = U + PV.

  1. Exprimer HH en fonction de UU et montrer que H=U+nRTH = U + nRT pour un gaz parfait.
  2. En déduire que Cp−Cv=nRC_p - C_v = nR (relation de Mayer).
  3. Application numérique : pour l'air (n=1n=1 mol, R=8,314 J\cdotmol−1K−1R = 8{,}314\,\text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1}), calculer Cp−CvC_p - C_v.
  4. Montrer que la relation de Mayer implique γ=Cp/Cv>1\gamma = C_p/C_v > 1.

Indication
Utiliser PV=nRTPV = nRT pour simplifier H=U+PVH = U + PV, puis dériver par rapport à TT à pression constante.

Solution détaillée

Solution
1. H=U+PV=U+nRTH = U + PV = U + nRT (gaz parfait). Comme UU ne dépend que de TT, HH ne dépend aussi que de TT.

2. Cp=(∂H/∂T)P=dH/dT=dU/dT+nR=Cv+nRC_p = \left(\partial H/\partial T\right)_P = \mathrm{d}H/\mathrm{d}T = \mathrm{d}U/\mathrm{d}T + nR = C_v + nR. Donc Cp−Cv=nRC_p - C_v = nR.

3. Cp−Cv=1×8,314≈8,3 J\cdotK−1C_p - C_v = 1 \times 8{,}314 \approx 8{,}3\,\text{J·K}^{-1}.

4. Cp=Cv+nR>CvC_p = C_v + nR > C_v car nR>0nR > 0. Donc γ=Cp/Cv>1\gamma = C_p/C_v > 1.