Exercice corrigé de thermodynamique

Les six coefficients du gaz parfait

Exercice 43 · Leçon 8 — Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

  • coefficients calorimétriques
  • coefficients thermoélastiques
  • dilatation isobare
  • compressibilité isotherme
  • gaz parfait

Énoncé

On considère nn moles de gaz parfait sur un chemin localement réversible ; δQ\delta Q désigne ici δQrev\delta Q_{\mathrm{rev}}. On rappelle les définitions :

δQ=CV dT+ℓ dV=CP dT+h dP,α=1V(∂V∂T)P,β=1P(∂P∂T)V,χT=−1V(∂V∂P)T.\delta Q = C_V\,\mathrm{d}T + \ell\,\mathrm{d}V = C_P\,\mathrm{d}T + h\,\mathrm{d}P, \qquad \alpha = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P, \quad \beta = \frac{1}{P}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V, \quad \chi_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
  1. En utilisant le fait que UU ne dépend que de TT, montrer que ℓ=P\ell = P pour le gaz parfait. En différentiant PV=nRTPV=nRT à température constante, en déduire que h=−Vh=-V.
  2. Calculer α\alpha, β\beta et χT\chi_T pour le gaz parfait.
  3. Vérifier sur ces valeurs les relations générales ℓ=βTP\ell = \beta TP, h=−αVTh = -\alpha VT et PβχT=αP\beta\chi_T = \alpha.
  4. Démontrer la relation ℓ=h(∂P∂V)T\ell = h\left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_T et la vérifier pour le gaz parfait.
  5. Interpréter physiquement le signe de hh : que doit faire la pression d'un gaz parfait qui reçoit de la chaleur à température constante ?

Indication
Isotherme : dU=0\mathrm{d}U = 0 donne δQ=P dV\delta Q = P\,\mathrm{d}V ; à température fixée, P dV+V dP=0P\,\mathrm{d}V+V\,\mathrm{d}P=0 donne ensuite δQ=−V dP\delta Q=-V\,\mathrm{d}P. Pour la question 4, écrire δQ\delta Q en variables (T,V)(T,V) et y substituer dP\mathrm{d}P exprimé en fonction de dT\mathrm{d}T et dV\mathrm{d}V... ou plus simplement comparer les deux écritures de δQ\delta Q sur une isotherme.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Sur une isotherme du gaz parfait, dU=0\mathrm{d}U = 0, donc δQ=P dV\delta Q = P\,\mathrm{d}V ; par identification avec δQ=CV dT+ℓ dV=ℓ dV\delta Q = C_V\,\mathrm{d}T + \ell\,\mathrm{d}V = \ell\,\mathrm{d}V, on lit ℓ=P\ell = P. En différentiant PV=nRTPV=nRT à TT fixé, on trouve P dV=−V dPP\,\mathrm{d}V=-V\,\mathrm{d}P, donc δQ=−V dP=h dP\delta Q = -V\,\mathrm{d}P = h\,\mathrm{d}P, d'où h=−Vh = -V. Question 2. De V=nRT/PV = nRT/P : α=1V⋅nRP=1T\alpha = \dfrac{1}{V}\cdot\dfrac{nR}{P} = \dfrac{1}{T} et χT=−1V(−nRTP2)=1P\chi_T = -\dfrac{1}{V}\left(-\dfrac{nRT}{P^2}\right) = \dfrac{1}{P}. De P=nRT/VP = nRT/V : β=1P⋅nRV=1T\beta = \dfrac{1}{P}\cdot\dfrac{nR}{V} = \dfrac{1}{T}. Question 3. βTP=1T TP=P=ℓ\beta TP = \frac{1}{T}\,TP = P = \ell \checkmark ; −αVT=−1T VT=−V=h-\alpha VT = -\frac{1}{T}\,VT = -V = h \checkmark ; PβχT=P⋅1T⋅1P=1T=αP\beta\chi_T = P\cdot\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{P} = \frac{1}{T} = \alpha \checkmark. Question 4. Sur une isotherme, les deux écritures de δQ\delta Q donnent ℓ dV=h dP\ell\,\mathrm{d}V = h\,\mathrm{d}P, et comme dP=(∂P/∂V)TdV\mathrm{d}P = \left(\partial P/\partial V\right)_T\mathrm{d}V à TT fixé :

ℓ=h(∂P∂V)T.\ell = h\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T.

Gaz parfait : h(∂P/∂V)T=(−V)(−nRTV2)=nRTV=P=ℓh\left(\partial P/\partial V\right)_T = (-V)\left(-\dfrac{nRT}{V^2}\right) = \dfrac{nRT}{V} = P = \ell. \checkmark

Question 5. δQ=h dP=−V dP\delta Q = h\,\mathrm{d}P = -V\,\mathrm{d}P : pour recevoir de la chaleur (δQ>0\delta Q > 0) à température constante, il faut dP<0\mathrm{d}P < 0. Rien d'étrange : à TT fixée, PVPV est constant, le gaz se dilate en absorbant la chaleur (δQ=P dV>0\delta Q = P\,\mathrm{d}V > 0) et sa pression chute d'autant.