Exercice corrigé de thermodynamique

Relation de Mayer générale et stabilité : γ≥1\gamma \geq 1

Exercice 46 · Leçon 8 — Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

  • relation de Mayer générale
  • stabilité thermodynamique
  • gamma
  • compressibilité
  • dilatation
  • capacités thermiques

Énoncé

On rappelle la relation de Mayer générale établie en cours :

CP−CV=T(∂P∂T)V(∂V∂T)P,C_P - C_V = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P,

ainsi que les définitions de α\alpha, β\beta, χT\chi_T et la relation PβχT=αP\beta\chi_T = \alpha.

  1. Exprimer CP−CVC_P - C_V en fonction de TT, VV, α\alpha et χT\chi_T uniquement.
  2. Dans une phase stable régulière à T>0T>0, on suppose CV>0C_V>0 et χT>0\chi_T>0, tous deux finis. En déduire que γ=CP/CV≥1\gamma = C_P/C_V \geq 1. Dans quel cas a-t-on exactement γ=1\gamma = 1 ?
  3. Vérifier que la formule de la question 1 redonne CP−CV=nRC_P - C_V = nR pour le gaz parfait.
  4. Pour l'eau liquide à 4 °C, le coefficient de dilatation α\alpha s'annule (anomalie dilatométrique). Que valent alors CP−CVC_P - C_V et γ\gamma ? Commenter le cas général des phases condensées.

Indication
(∂P/∂T)V=βP\left(\partial P/\partial T\right)_V = \beta P et (∂V/∂T)P=αV\left(\partial V/\partial T\right)_P = \alpha V, puis éliminer β\beta avec PβχT=αP\beta\chi_T = \alpha.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Les définitions donnent (∂P/∂T)V=βP(\partial P/\partial T)_V=\beta P et (∂V/∂T)P=αV(\partial V/\partial T)_P=\alpha V. La relation de Mayer devient donc

CP−CV=T(βP)(αV).C_P-C_V=T(\beta P)(\alpha V).

La relation PβχT=αP\beta\chi_T=\alpha fournit βP=α/χT\beta P=\alpha/\chi_T. Après substitution,

CP−CV=TVα2χT.\boxed{C_P - C_V = \frac{TV\alpha^2}{\chi_T}}.

Question 2. Le membre de droite est positif ou nul puisque T,V,χT>0T,V,\chi_T>0 : donc CP≥CV>0C_P\geq C_V>0, d'où γ=CP/CV≥1\gamma = C_P/C_V \geq 1 dans ce domaine régulier. L'égalité γ=1\gamma = 1 exige α=0\alpha = 0 : un corps qui ne se dilate pas du tout avec la température.

Question 3. Gaz parfait : α=1/T\alpha = 1/T, χT=1/P\chi_T = 1/P, donc TVα2χT=TV PT2=PVT=nR\dfrac{TV\alpha^2}{\chi_T} = \dfrac{TV\,P}{T^2} = \dfrac{PV}{T} = nR. \checkmark Question 4. À 4 °C, α=0\alpha = 0 donne exactement CP=CVC_P = C_V et γ=1\gamma = 1 pour l'eau. Une faible valeur de α\alpha ne suffit pas à justifier CP≈CVC_P\approx C_V : il faut vérifier que le rapport TVα2/(χTCV)TV\alpha^2/(\chi_T C_V) est petit.