Exercice corrigé de thermodynamique

Machine monotherme : l'énoncé de Kelvin

Exercice 26 · Leçon 5 — Réversibilité et irréversibilité : le second principe

  • énoncé de Kelvin
  • cycle monotherme
  • second principe
  • moteur perpétuel
  • source unique
  • bilan entropique

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un système décrit un cycle au cours duquel il reçoit un travail WW de l'extérieur et une chaleur QQ d'un thermostat unique de température TST_S. L'ensemble {\{système + thermostat}\} est isolé thermiquement.

  1. Écrire le bilan d'énergie du système sur un cycle. Que vaut ΔSsysteˋme\Delta S_{\text{système}} sur un cycle, et pourquoi ?
  2. Écrire le bilan entropique de l'ensemble et en déduire le signe de QQ, puis celui de WW.
  3. Conclure : une machine cyclique peut-elle fournir du travail avec une seule source de chaleur ? Dans quel cas limite a-t-on W=0W = 0 ?
  4. Un inventeur propose un navire qui se propulserait en prélevant de la chaleur à l'océan (réservoir d'énergie thermique gigantesque), sans autre source. Pourquoi ce « moteur miracle », qui ne viole pourtant pas le premier principe, est-il impossible ?

Indication
Sur un cycle, toutes les fonctions d'état reviennent à leur valeur initiale. L'entropie du thermostat varie de −Q/TS-Q/T_S, et l'entropie créée est positive ou nulle.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Sur un cycle, UU revient à sa valeur initiale : ΔU=0=W+Q\Delta U = 0 = W + Q, donc W=−QW = -Q. De même SS est une fonction d'état : ΔSsysteˋme=0\Delta S_{\text{système}} = 0.

Question 2. Le thermostat cède QQ à température fixe : ΔSth=−Q/TS\Delta S_{\text{th}} = -Q/T_S. Le bilan de l'ensemble isolé s'écrit

ΔSuniv=0−QTS=Sc≥0  ⟹  Q≤0  ⟹  W=−Q≥0.\Delta S_{\text{univ}} = 0 - \frac{Q}{T_S} = S_c \geq 0 \implies Q \leq 0 \implies W = -Q \geq 0.

Question 3. W≥0W \geq 0 : sur un cycle monotherme, le système ne peut que recevoir du travail (et rejeter de la chaleur), jamais en fournir. C'est l'énoncé historique de Kelvin du second principe : il n'existe pas de moteur cyclique à source unique. Le cas limite W=0W = 0 correspond au cycle réversible (Sc=0S_c = 0, donc Q=0Q = 0) : il ne se passe rien. Pour produire du travail, il faut au moins deux sources à températures différentes — ce sera l'objet de la leçon sur les machines thermiques.

Question 4. Énergétiquement, rien n'interdit de convertir la chaleur de l'océan en travail : le premier principe est sauf. Mais le navire fonctionnerait en cycle avec l'océan pour seule source : la question 2 donne W≥0W \geq 0, il ne peut pas fournir de travail de propulsion. Il faudrait une seconde source plus froide vers laquelle rejeter une partie de la chaleur — c'est toute la différence entre énergie et énergie utilisable, que l'entropie quantifie.