Exercice corrigé de thermodynamique

Transition du second ordre : potentiel de Landau

Exercice 32 · Leçon 6 — Structure mathématique : les relations fondamentales

  • Landau
  • transition de phase
  • second ordre
  • potentiel thermodynamique
  • superfluide
  • supraconducteur

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Au voisinage de TcT_c, un système est décrit par un paramètre d'ordre ψ\psi (fraction superfluide ou gap supraconducteur) et l'enthalpie libre molaire

g(T,ψ)=g0(T)+a(T−Tc)ψ2+bψ4,g(T,\psi) = g_0(T) + a(T - T_c)\psi^2 + b\psi^4,

avec a,b>0a, b > 0 et g0g_0 indépendant de ψ\psi.

  1. À TT fixé, minimiser gg par rapport à ψ\psi. Montrer que ψ=0\psi = 0 pour T>TcT > T_c et ψ2=a(Tc−T)2b\psi^2 = \dfrac{a(T_c - T)}{2b} pour T<TcT < T_c.
  2. Calculer la chaleur spécifique c=−T ∂2g0/∂T2c = -T\,\partial^2 g_0/\partial T^2 côté normal (ψ=0\psi = 0) et montrer qu'une discontinuité de cc apparaît à TcT_c si g0g_0 est régulier (transition du second ordre).
  3. Interpréter ψ\psi pour un superfluide (4^4He sous 2,17 K) ou un supraconducteur (sous TcT_c).

Indication
∂g/∂ψ=2a(T−Tc)ψ+4bψ3\partial g/\partial\psi = 2a(T-T_c)\psi + 4b\psi^3. Pour T<TcT < T_c, la solution ψ=0\psi = 0 est un maximum local.

Solution détaillée

Solution
Question 1. ∂g/∂ψ=2ψ[a(T−Tc)+2bψ2]\partial g/\partial\psi = 2\psi[a(T-T_c) + 2b\psi^2]. Pour T>TcT > T_c, le seul minimum est ψ=0\psi = 0. Pour T<TcT < T_c, ψ=0\psi = 0 est instable et le minimum est ψ2=a(Tc−T)/(2b)>0\psi^2 = a(T_c-T)/(2b) > 0 : brisure spontanée de symétrie.

Question 2. Pour T>TcT > T_c, g=g0(T)g = g_0(T). Pour T<TcT < T_c, substituer ψ2\psi^2 et développer : le terme −a2(Tc−T)2/(4b)-a^2(T_c-T)^2/(4b) s'ajoute à g0g_0, modifiant ∂2g/∂T2\partial^2 g/\partial T^2 à TcT_c : cc peut sauter (second ordre) sans chaleur latente (continuité de SS).

Question 3. ψ\psi mesure la fraction superfluide ou l'amplitude du condensat de Cooper. Au-dessus de TcT_c, le comportement est normal (ψ=0\psi = 0) ; en dessous, une phase cohérente macroscopique apparaît — modèle phénoménologique L2-compatible sans entrer dans la théorie BCS.