Exercice corrigé de thermodynamique

Ferromagnétisme : susceptibilité de Curie-Weiss

Exercice 33 · Leçon 6 — Structure mathématique : les relations fondamentales

  • Curie-Weiss
  • ferromagnétisme
  • susceptibilité
  • transition de phase
  • aimantation

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un métal ferromagnétique obéit, au-dessus de sa température de Curie TcT_c, à la loi de Curie-Weiss :

χ=CT−Tc,M=χH,\chi = \frac{C}{T - T_c}, \qquad M = \chi H,

où MM est l'aimantation, HH le champ magnétique appliqué, CC une constante et χ\chi la susceptibilité.

  1. Montrer que χ→+∞\chi \to +\infty quand T→Tc+T \to T_c^+ : signe d'une transition de phase.
  2. On admet que l'énergie magnétique molaire vaut u=−μ0MH/2u = -\mu_0 M H/2 à champ fixé (approximation linéaire). Exprimer la contribution magnétique à l'entropie molaire sM=−∂u/∂T∣Hs_M = -\partial u/\partial T|_H.
  3. Au voisinage de TcT_c, pourquoi le modèle de Curie-Weiss est-il insuffisant ? Relier à l'exercice sur le potentiel de Landau.

Indication
χ\chi diverge : la réponse à un champ infinitésimal devient infinie. Pour sMs_M, dériver u=−μ0χH2/2u = -\mu_0 \chi H^2/2.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Quand T→Tc+T \to T_c^+, le dénominateur T−Tc→0+T - T_c \to 0^+ : χ→+∞\chi \to +\infty. Un infinitésimal HH produit une aimantation macroscopique : transition paramagnétique →\to ferromagnétique.

Question 2. u=−μ0H22CT−Tcu = -\dfrac{\mu_0 H^2}{2}\dfrac{C}{T-T_c}, donc

sM=−(∂u∂T)H=−μ0H2C2(T−Tc)2<0s_M = -\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_H = -\frac{\mu_0 H^2 C}{2(T-T_c)^2} < 0

au-dessus de TcT_c (contribution magnétique à l'entropie décroît quand TT approche TcT_c).

Question 3. Curie-Weiss ne décrit que T>TcT > T_c ; en dessous, M(H)M(H) n'est plus linéaire. Landau avec ψ=M\psi = M donne une description unifiée au voisinage de TcT_c (exposants critiques, second ordre).