Exercice corrigé de thermodynamique

Gaz parfait bidimensionnel

Exercice 31 · Leçon 6 — Structure mathématique : les relations fondamentales

gaz parfait
basse dimension
équation d'état
relation fondamentale
adiabatique
électrons 2D

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On considère $N$ particules monoatomiques confinées dans un plan de surface $A$ (gaz parfait 2D). L'énergie ne dépend que de la température et vaut $U = N k_B T$ (deux degrés de liberté par particule). L'équation d'état est $PA = N k_B T$ .

Montrer que $S(U,A,N) = Nk_B\ln\!\left(\dfrac{U}{N}\dfrac{A}{N}\right) + \alpha N$ à une constante près, en utilisant $1/T = \left(\partial S/\partial U\right)_{A,N}$ et $P/T = \left(\partial S/\partial A\right)_{U,N}$ .
Vérifier que $S$ est homogène de degré 1 et calculer $\mu$ .
Le gaz subit une détente adiabatique réversible. Montrer que $TA^{\gamma-1} = \text{cste}$ avec $\gamma = 2$ en 2D.
Comparer à un gaz 3D monoatomique ( $\gamma = 5/3$ ). Pourquoi un gaz d'électrons 2D en métal (couche de surface) est-il qualifié de « basse dimension » en thermodynamique ?

Indication

Même méthode que Sackur-Tétrode mais avec

A

à la place de

V

U = Nk_BT

. Sur l'adiabatique :

\mathrm{d}S = 0

donne

\mathrm{d}U = -P\,\mathrm{d}A

Solution détaillée

Solution

Question 1.

1/T = k_B/U_{\text{m}} = Nk_B/U

donne

U = Nk_BT

. Puis

P/T = Nk_B/A

donne

PA = Nk_BT

. Intégration :

S = Nk_B\ln(U/A) + \text{cste}

en variables extensives, soit

S = Nk_B\ln[(U/N)(A/N)] + \alpha N

Question 2. $S(\lambda U, \lambda A, \lambda N) = \lambda S(U,A,N)$ : extensivité OK. En dérivant $S = Nk_B\ln[(U/N)(A/N)] + \alpha N$ par rapport à $N$ (même calcul qu'à l'exercice de Sackur-Tétrode, avec ici un terme $-2Nk_B\ln N$ au lieu de $-\tfrac{5}{2}Nk_B\ln N$ ) :

\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,A} = k_B\ln\!\left[\left(\frac{U}{N}\right)\!\left(\frac{A}{N}\right)\right] - 2k_B + \alpha = \frac{S}{N} - 2k_B,

donc $\mu = -T\left(\partial S/\partial N\right)_{U,A} = -T\,\dfrac{S}{N} + 2k_BT$ — un terme proportionnel à $T$ , et non une simple constante.

Question 3. Adiabatique : $\mathrm{d}U = -P\,\mathrm{d}A = -(Nk_BT/A)\,\mathrm{d}A$ . Avec $\mathrm{d}U = Nk_B\,\mathrm{d}T$ : $\mathrm{d}T/T + \mathrm{d}A/A = 0$ , donc $TA = \text{cste}$ , soit $TA^{\gamma-1} = \text{cste}$ avec $\gamma = C_P/C_V = 2k_B/k_B = 2$ .

Question 4. En 3D, $\gamma = 5/3 < 2$ : l'exposant adiabatique $\gamma - 1$ vaut $1$ en 2D contre seulement $2/3$ en 3D. Comme $T \propto (\text{surface ou volume})^{-(\gamma-1)}$ le long d'une adiabatique, une même compression relative échauffe donc davantage le gaz 2D que le gaz 3D : la température y est plus sensible aux variations de surface, car il y a moins de degrés de liberté pour absorber l'énergie mécanique reçue. Les électrons 2D ont par ailleurs une densité d'états constante en énergie (contrairement à la densité en $\sqrt{E}$ du cas 3D), d'où des lois thermodynamiques qualitativement différentes du gaz 3D — phénomène clé en matière condensée, accessible ici via le seul formalisme général de la relation fondamentale.