Exercice corrigé de thermodynamique

Détente isentropique et reconstruction d'une relation fondamentale

Exercice 38 · Leçon 7 — Structure mathématique : les relations fondamentales

relation fondamentale
détente isentropique
équations d'état
représentation entropie
condition d'intégrabilité
grandeurs molaires

Énoncé

Partie A. Un système est décrit par la relation fondamentale molaire

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

où $u$ , $v$ et $s$ sont l'énergie interne, le volume et l'entropie molaires, $A > 0$ une constante et $R$ la constante des gaz parfaits. L'état initial est caractérisé par la température $T_{0}$ et la pression $P_{0}$ .

Exprimer $T$ et $P$ en fonction de $u$ et $v$ . En déduire l'équation d'état reliant $P$ , $v$ et $T$ .
On fait subir au système une détente isentropique jusqu'à ce que sa pression soit divisée par huit. Exprimer la température finale en fonction de $T_{0}$ uniquement.

Partie B. Un autre système, de quantité de matière fixée, obéit aux deux équations d'état

U = 2 P V, P = B T^{3},

où $B > 0$ est une constante.

Exprimer $1/ T$ et $P / T$ en fonction de $U$ et $V$ .
Une relation fondamentale $S (U, V)$ ne peut exister que si les dérivées croisées sont égales : $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . Vérifier cette condition.
Déterminer la relation fondamentale $S (U, V)$ à une constante près. Vérifier qu'elle redonne bien les deux équations d'état, puis qu'elle est extensive.

Indication

Partie A :

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; le long d'une isentropique,

s

est fixé et tout s'exprime en fonction de

v

. Partie B :

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. Intégrer d'abord

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

V

fixé, en ajoutant une fonction

f (V)

, puis déterminer

f

à l'aide de

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

Solution détaillée

Solution

Question 1. À

v

fixé, la dérivée de

e^{s / (3 R)}

par rapport à

s

vaut

e^{s / (3 R)} / (3 R)

, d'où

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

À $s$ fixé, la dérivée de $v^{- 1/2}$ vaut $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ , d'où

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

La première relation donne $u = 3 R T$ . En la reportant dans la seconde,

P = \frac{3 R T}{2 v}, soit P v = \frac{3}{2} R T .

Question 2. Le long de l'isentropique, $s$ est constant, donc $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ est proportionnel à $v^{- 1/2}$ . Il en résulte

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

Diviser la pression par huit impose

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

La température étant proportionnelle à $v^{- 1/2}$ ,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

Question 3. Les deux équations d'état donnent $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ , d'où

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

Par ailleurs $P / T = B T^{2}$ , et en remplaçant $T$ ,

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

Question 4. Dérivons $1/ T$ par rapport à $V$ , à $U$ fixé :

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

Dérivons $P / T$ par rapport à $U$ , à $V$ fixé :

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

Comme $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , le premier résultat s'écrit aussi $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ : les deux dérivées croisées sont égales. La forme $(1/ T) d U + (P / T) d V$ peut donc être la différentielle d'une fonction $S (U, V)$ . Deux équations d'état choisies au hasard ne vérifient pas, en général, cette condition.

Question 5. À

V

fixé, intégrons

1/ T

par rapport à

U

. Une primitive de

U^{- 1/3}

est

\frac{3}{2} U^{2/3}

, d'où

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

où $f$ est une fonction de $V$ seul. Dérivons par rapport à $V$ :

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

Or $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : le premier terme est exactement $P / T$ . Il faut donc $f^{'} (V) = 0$ , c'est-à-dire $f$ constante, et

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + constante .

Inversement, les dérivées de cette fonction redonnent $1/ T$ et $P / T$ de la question 3, donc les deux équations d'état de départ. Enfin, en multipliant $U$ et $V$ par $λ$ , le produit $V U^{2}$ est multiplié par $λ^{3}$ et sa racine cubique par $λ$ : à constante additive près, $S$ est homogène de degré un, donc extensive.