Énoncé

Un système homogène usuel possède une masse $m$ , un volume $V$ , un nombre de particules $N$ , une énergie interne $U$ , une température $T$ et une pression $P$ . On suppose ici $U$ extensive, les interactions à longue portée et les effets de bord étant négligés. On change sa taille à état intensif fixé : $(m,V,N,U)\mapsto(\lambda m,\lambda V,\lambda N,\lambda U)$ , avec $\lambda>0$ , tandis que $T$ et $P$ restent inchangées.

Déterminer le degré d'homogénéité de $m/V$ , $V/N$ , $U/N$ , $PV$ , $U^2/V$ et $V^{1/3}$ . Quelles grandeurs sont extensives, intensives, ou ni l'un ni l'autre ?
On propose deux expressions d'une énergie, $U_1=aNk_{\mathrm B}T$ et $U_2=aN^2k_{\mathrm B}T$ , où $a>0$ est sans dimension et indépendant de la taille du système. Vérifier leurs dimensions, puis déterminer laquelle est compatible avec l'hypothèse d'extensivité. Rappeler pourquoi ces deux vérifications sont distinctes.
Pour une sphère de rayon $R$ , exprimer l'aire $A$ en fonction du volume $V$ . Déterminer les degrés d'homogénéité de $A$ et $A/V$ lorsqu'on agrandit une seule sphère à densité fixée.
Comparer l'aire d'une sphère de volume $8V$ à l'aire totale de huit sphères séparées de volume $V$ chacune. Expliquer pourquoi « agrandir un objet » et « juxtaposer des copies » ne donnent pas le même résultat pour l'aire de ses interfaces.

Indication

Remplacer chaque grandeur par sa valeur après changement d'échelle. Le facteur obtenu doit être

\lambda^k

pour une grandeur homogène de degré

k

. Pour la sphère, partir de

V=4\pi R^3/3

et

A=4\pi R^2

.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Les facteurs d'échelle se multiplient dans un produit et se divisent dans un quotient. On trouve explicitement

\frac{\lambda m}{\lambda V}=\frac{m}{V},\qquad \frac{\lambda V}{\lambda N}=\frac{V}{N},\qquad \frac{\lambda U}{\lambda N}=\frac{U}{N}.

Ces trois rapports sont de degré $0$ , donc intensifs. Ensuite,

P(\lambda V)=\lambda PV,\qquad \frac{(\lambda U)^2}{\lambda V}=\lambda\frac{U^2}{V},\qquad (\lambda V)^{1/3}=\lambda^{1/3}V^{1/3}.

Ainsi $PV$ et $U^2/V$ sont de degré $1$ , donc extensifs au sens de la loi d'échelle donnée ; $V^{1/3}$ est de degré $1/3$ , donc ni extensif ni intensif. Le degré d'homogénéité ne précise pas les unités : $PV$ s'exprime en joules, mais $U^2/V$ en $\mathrm{J^2\,m^{-3}}$ .

Question 2.

N

est un nombre sans dimension et

k_{\mathrm B}

s'exprime en

\mathrm{J\,K^{-1}}

. Les deux expressions ont donc la dimension d'une énergie. Cependant,

U_1(\lambda N,T)=\lambda U_1(N,T),\qquad U_2(\lambda N,T)=\lambda^2 U_2(N,T).

Seule $U_1$ est compatible avec l'extensivité supposée. Une formule peut donc avoir les bonnes unités tout en présentant une dépendance incorrecte en la taille du système. Cela n'interdit pas toute énergie non extensive : c'est l'hypothèse posée dans cet exercice qui exclut $U_2$ .

Question 3. On isole le rayon puis on le remplace dans l'aire :

R=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3},\qquad A=4\pi\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{2/3} =(36\pi)^{1/3}V^{2/3}.

Donc $A(\lambda V)=\lambda^{2/3}A(V)$ : l'aire est de degré $2/3$ . En divisant par $\lambda V$ , on obtient $A(\lambda V)/(\lambda V)=\lambda^{-1/3}A(V)/V$ . Le rapport aire sur volume est de degré $-1/3$ et diminue lorsque la sphère grandit.

Question 4. Pour la sphère unique,

A(8V)=8^{2/3}A(V)=4A(V)

. Les huit sphères séparées ont en revanche une aire totale

8A(V)

. Leur aire totale est donc deux fois plus grande. L'agrandissement d'un objet compact conserve sa forme et réduit le poids relatif des interfaces. La juxtaposition conserve toutes les interfaces des copies. Il faut préciser l'opération géométrique lorsqu'on étudie des contributions de surface ; elles sont justement négligées dans la description extensive du volume.