Énoncé

On décrit les états d'équilibre d'un gaz parfait par les quatre variables positives $(P,V,T,n)$ , liées par $PV=nRT$ . On cherche la dimension $d=q-r$ de l'ensemble des états accessibles, où $q$ est le nombre de variables utilisées et $r$ le nombre de relations indépendantes.

Déterminer $q$ , $r$ et $d$ lorsque $n$ peut varier. Proposer trois coordonnées indépendantes et exprimer la quatrième variable.
Refaire le comptage pour une quantité de matière fixée $n=n_0$ , puis lorsqu'on impose aussi $T=T_0$ , puis enfin $V=V_0$ . Donner à chaque étape un choix de coordonnées pour les états accessibles.
Un étudiant ajoute à $PV=nRT$ la relation $P=nRT/V$ et compte deux équations d'état. Expliquer son erreur.
Deux gaz parfaits de quantités de matière fixées $n_1,n_2$ occupent les compartiments d'une enceinte de volume total $V_{\mathrm{tot}}$ . Ils sont séparés par un piston diatherme, mobile sans frottement et sans force extérieure. On ne fixe pas la température commune. À l'équilibre, compter les relations indépendantes entre $(P_1,V_1,T_1,P_2,V_2,T_2)$ . Exprimer les volumes et la pression commune en fonction d'une coordonnée restante.

Indication

Conserver les quatre variables de départ pour les trois comptages de la question 2 et ajouter une contrainte à chaque étape. Pour le piston, utiliser les deux équations d'état, le volume total, l'équilibre thermique et l'équilibre mécanique.

Solution détaillée

Solution

Question 1. On utilise

q=4

variables et une relation indépendante, soit

r=1

et

d=3

. On peut choisir

(V,T,n)

: la variable restante est alors

P=nRT/V

. La condition

V>0

permet cette division. Question 2. Pour le gaz fermé, les relations sont

PV=nRT

et

n=n_0

, donc

r=2

et

d=4-2=2

. Le couple

(V,T)

convient, avec

P=n_0RT/V

. Si l'on retirait dès le départ

n

de la liste des variables, on aurait aussi

q=3

,

r=1

, donc le même

d=2

. La contrainte supplémentaire

T=T_0

porte

r

à

3

et donne

d=1

. Le volume

V

suffit à paramétrer les états, car

P=n_0RT_0/V

. Enfin, imposer

V=V_0

porte

r

à

4

et donne

d=0

: il reste un état unique, à

P=n_0RT_0/V_0

. Ce dernier ensemble ne nécessite aucune coordonnée libre. Ces contraintes réduisent l'ensemble accessible, pas le nombre de variables nécessaire pour décrire le gaz sans contraintes. Question 3. Puisque

V>0

, la seconde écriture s'obtient en divisant la première par

V

. Tout état qui vérifie l'une vérifie automatiquement l'autre. La seconde relation ne retire donc aucun état supplémentaire et n'augmente pas

r

. Il faut compter des contraintes indépendantes, et non des lignes d'équations. Question 4. Les six variables vérifient les cinq relations

P_1V_1=n_1RT_1,\quad P_2V_2=n_2RT_2,\quad V_1+V_2=V_{\mathrm{tot}},\quad T_1=T_2,\quad P_1=P_2.

Posons $T=T_1=T_2$ et $P=P_1=P_2$ . L'addition des équations d'état donne

P(V_1+V_2)=(n_1+n_2)RT,\qquad P=\frac{(n_1+n_2)RT}{V_{\mathrm{tot}}}.

En reportant dans chaque équation d'état,

V_1=\frac{n_1RT}{P}=\frac{n_1}{n_1+n_2}V_{\mathrm{tot}}, \qquad V_2=\frac{n_2RT}{P}=\frac{n_2}{n_1+n_2}V_{\mathrm{tot}}.

Le facteur $RT$ se simplifie dans les volumes, mais pas dans la pression. La température $T>0$ reste libre et détermine toutes les autres variables : les cinq relations sont bien indépendantes et $d=6-5=1$ . Une donnée énergétique supplémentaire pourrait sélectionner un état particulier ; elle n'est pas imposée ici.