Exercice corrigé de thermodynamique

Équilibre sous contrainte ou état stationnaire ?

Exercice 6 · Leçon 3 — Notions fondamentales

équilibre thermodynamique
état stationnaire
contraintes
flux
système ouvert

Énoncé

On considère trois situations idéalisées, en négligeant la pesanteur.

Deux gaz, chacun à l'équilibre interne, sont enfermés dans une enceinte isolée. Une cloison rigide, adiabatique et imperméable les sépare. Leurs températures $T_1,T_2$ et leurs pressions $P_1,P_2$ sont différentes.
Une barre métallique est en contact à ses extrémités avec deux thermostats à $T_{\mathrm{ch}}>T_{\mathrm{fr}}$ . Ses faces latérales sont calorifugées. Son profil de température ne varie plus avec le temps, mais une puissance thermique non nulle la traverse.
Un réservoir est alimenté en eau et vidangé avec le même débit massique constant. Son niveau, sa température et l'écoulement observé en chaque point ne varient plus avec le temps.

Faire un schéma de chaque situation en délimitant le système étudié et en indiquant les échanges qui traversent sa frontière.
Classer chaque situation : équilibre thermodynamique sous les contraintes imposées, ou état stationnaire hors équilibre ? Justifier à partir des flux, et pas seulement de l'absence d'évolution temporelle.
Dans la première situation, on rend la cloison diatherme tout en la maintenant rigide et imperméable. Quelle évolution devient possible ? Quelle égalité doit être satisfaite à l'équilibre final ? Les pressions doivent-elles nécessairement devenir égales ?
On conserve au contraire la cloison adiabatique et imperméable, mais on la remplace par un piston mobile sans frottement ni force extérieure, initialement au repos. Quelle différence déclenche son mouvement ? Si un état final au repos est atteint, quelle égalité impose l'équilibre mécanique ?

Indication

Une contrainte peut maintenir une différence de température ou de pression sans autoriser de flux. Un flux entrant égal au flux sortant peut aussi maintenir des grandeurs constantes, mais ce n'est pas un équilibre.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Pour les deux gaz, on entoure l'enceinte complète : aucun échange ne traverse sa frontière extérieure et aucun transfert ne traverse la cloison. On inscrit

(T_1,P_1)

(T_2,P_2)

de part et d'autre. Pour la barre seule, les flèches thermiques entrent du côté chaud et sortent du côté froid. Pour le volume de contrôle délimité par le réservoir, une flèche de matière entre par l'alimentation et une autre sort par la vidange ; cette matière transporte aussi de l'énergie. Question 2. Les deux gaz sont à l'équilibre sous les contraintes imposées. La cloison interdit les échanges de chaleur, le déplacement mécanique et les échanges de matière. Les différences

T_1-T_2

P_1-P_2

ne provoquent donc aucune évolution autorisée. La barre est stationnaire, mais hors équilibre : de l'énergie thermique la traverse en permanence. La température constante dans le temps en chaque point n'implique ni une température uniforme dans l'espace, ni l'absence de flux. Le réservoir est également stationnaire hors équilibre. Si

\dot m_{\text{entrée}}

\dot m_{\text{sortie}}

désignent les débits massiques positifs, le bilan de masse donne

\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} =\dot m_{\text{entrée}}-\dot m_{\text{sortie}}=0.

La masse contenue est constante, mais chacun des deux débits est non nul. L'eau se renouvelle : le système choisi est ouvert.

Question 3. La suppression de l'isolation thermique autorise un transfert du gaz chaud vers le gaz froid. À l'équilibre final,

T_{1,f}=T_{2,f}

. La cloison restant rigide, elle peut supporter une différence de pression : rien n'impose

P_{1,f}=P_{2,f}

. Pour deux gaz parfaits, par exemple, les rapports

n_1/V_1

n_2/V_2

peuvent être différents, donc les pressions

n_1RT_f/V_1

n_2RT_f/V_2

aussi. Question 4. Si la section du piston vaut

A

, la résultante des forces de pression, orientée de 1 vers 2, est

F=A(P_1-P_2)

. Elle est non nulle initialement et met le piston en mouvement. Dans un état final au repos,

F=0

impose

P_{1,f}=P_{2,f}

. L'adiabaticité n'impose pas l'égalité des températures. L'existence d'un état final au repos est ici conditionnelle : le seul bilan des forces ne décrit pas l'amortissement d'éventuelles oscillations.