Exercice corrigé de thermodynamique

Équilibre stellaire et durée de vie

Exercice 58 · Leçon 10 — Machines thermiques

  • étoile
  • équilibre stellaire
  • Stefan-Boltzmann
  • pression de radiation
  • durée de vie
  • astrophysique

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Une étoile de masse MM, rayon RR et température centrale TcT_c est modélisée grossièrement ainsi. La pression de radiation vaut Prad=13aT4P_{rad} = \tfrac{1}{3}a T^4 avec a=7,57×10−16a = 7{,}57\times10^{-16} J·m−3^{-3}·K−4^{-4}. La pression thermique du gaz vaut Pgas=nkBTP_{gas} = n k_B T. On admet Prad≈PgasP_{rad} \approx P_{gas} au centre pour une étoile massive.

  1. Écrire la condition d'équilibre hydrostatique dPdr=−ρGM(r)r2\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} = -\rho \dfrac{GM(r)}{r^2} et son ordre de grandeur au centre (P/R∼ρGM/R2P/R \sim \rho GM/R^2).
  2. Le Soleil (R=7×108R = 7\times10^8 m, M=2×1030M = 2\times10^{30} kg, Tc≈1,5×107T_c \approx 1{,}5\times10^7 K) rayonne comme un corps noir de surface Ts=5800T_s = 5800 K. Calculer sa luminosité L=4πR2σTs4L = 4\pi R^2 \sigma T_s^4.
  3. La réserve d'énergie nucléaire est ε≈0,007 Mc2\varepsilon \approx 0{,}007\,Mc^2 (fraction convertie en énergie). Estimer la durée de vie τ≈ε/L\tau \approx \varepsilon/L (temps si toute cette énergie partait au débit LL).
  4. Pourquoi les étoiles très massives (M≫M⊙M \gg M_\odot) vivent-elles moins longtemps malgré un réservoir plus grand ?

Indication
σ=5,67×10−8\sigma = 5{,}67\times10^{-8} W·m−2^{-2}·K−4^{-4}. LL fortement sensible à TsT_s (T4T^4). Massives : L∝M3,5L \propto M^{3{,}5} environ (loi empirique).

Solution détaillée

Solution
Question 1. L'équilibre hydrostatique oppose la gravité à la poussée thermique : dP/dr∼−GMρ/r2\mathrm{d}P/\mathrm{d}r \sim -GM\rho/r^2. Au centre, ΔP/R∼GMρ/R2\Delta P/R \sim GM\rho/R^2 : plus la pression centrale est haute, plus l'étoile résiste à la gravité.

Question 2. L=4πR2σTs4=4π(7×108)2×5,67×10−8×(5800)4≈3,8×1026L = 4\pi R^2 \sigma T_s^4 = 4\pi (7\times10^8)^2 \times 5{,}67\times10^{-8} \times (5800)^4 \approx 3{,}8\times10^{26} W, proche de la constante solaire observée.

Question 3. ε≈0,007×2×1030×(3×108)2≈1,3×1045\varepsilon \approx 0{,}007 \times 2\times10^{30} \times (3\times10^8)^2 \approx 1{,}3\times10^{45} J. Alors

τ≈εL≈1,3×10453,9×1026≈3,2×1018 s≈1×1011 ans.\tau \approx \frac{\varepsilon}{L} \approx \frac{1{,}3\times10^{45}}{3{,}9\times10^{26}} \approx 3{,}2\times10^{18}\ \text{s} \approx 1\times10^{11}\ \text{ans}.

C'est environ dix fois trop long comparé à la durée de vie réellement observée du Soleil (∼1010\sim 10^{10} ans) : l'estimation suppose implicitement que toute la masse de l'étoile participe à la fusion, alors qu'en réalité seul le cœur — là où TT et ρ\rho sont suffisants pour la fusion, soit grossièrement 10 %10\,\% de la masse totale — brûle de l'hydrogène pendant la séquence principale. En corrigeant par ce facteur, τ≈0,1 ε/L≈3×1017\tau \approx 0{,}1\,\varepsilon/L \approx 3\times10^{17} s ≈1010\approx 10^{10} ans, cohérent avec l'âge de la séquence principale solaire.

Question 4. L∝M3,5L \propto M^{3{,}5} : doubler la masse multiplie la luminosité par ∼11\sim 11, épuisant le combustible bien plus vite. Les géantes bleues vivent quelques millions d'années seulement.