Exercice corrigé de thermodynamique

Carnot (1824) : rendement universel par l'absurde

Exercice 59 · Leçon 10 — Machines thermiques

  • Carnot
  • rendement
  • machine réversible
  • second principe
  • calorique
  • histoire
  • impossibilité

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Carnot se demande si le rendement d'une machine thermique dépend du fluide de travail ou de la construction mécanique. Il considère deux machines M1M_1 et M2M_2 réversibles fonctionnant entre les mêmes sources chaude (TcT_c) et froide (TfT_f), de rendements respectifs η1>η2\eta_1 > \eta_2. On admet l'énoncé de Clausius du second principe : il est impossible qu'un système échange spontanément de la chaleur d'une source froide vers une source chaude sans qu'aucun travail ne soit fourni de l'extérieur.

  1. M1M_1 fonctionne en moteur : elle prélève QcQ_c à la source chaude et en rejette Qf(1)=Qc(1−η1)Q_f^{(1)} = Q_c(1-\eta_1) à la source froide. Quel travail W1W_1 produit-elle par cycle ?
  2. On utilise la totalité de ce travail W1W_1 pour actionner M2M_2 en sens inverse (cycle récepteur, comme une pompe à chaleur). Exprimer, en fonction de W1W_1 et η2\eta_2, la chaleur Qc(2)Q_c^{(2)} que M2M_2 rejette alors à la source chaude et la chaleur Qf(2)Q_f^{(2)} qu'elle prélève à la source froide.
  3. Vérifier que le travail net échangé avec l'extérieur par l'ensemble {M1+M2 en sens inverse}\{M_1 + M_2\text{ en sens inverse}\} est nul, puis calculer le bilan net de chaleur reçu par la source chaude et par la source froide. Que constate-t-on ?
  4. Conclure sur l'existence de η1>η2\eta_1 > \eta_2 pour deux machines réversibles entre mêmes sources. Que dit-on aujourd'hui de ce raisonnement, alors que Carnot croyait au calorique ?

Indication
Réversibilité : faire tourner M2M_2 en sens inverse échange QQ et WW avec des signes opposés par rapport à son fonctionnement en moteur, mais les mêmes relations Qc(2)=W(2)/η2Q_c^{(2)} = W^{(2)}/\eta_2 restent valables en valeur absolue. Pour la question 3, faire le bilan sur chaque source séparément et comparer au signe attendu par l'énoncé de Clausius.

Solution détaillée

Solution
Question 1. W1=η1QcW_1 = \eta_1 Q_c et Qf(1)=Qc−W1=Qc(1−η1)Q_f^{(1)} = Q_c - W_1 = Q_c(1-\eta_1).

Question 2. Fonctionnant en sens inverse et consommant un travail W1W_1, M2M_2 vérifie toujours W1=η2 Qc(2)W_1 = \eta_2\, Q_c^{(2)} (même relation qu'en moteur, mais Qc(2)Q_c^{(2)} est maintenant rejetée à la source chaude), d'où Qc(2)=W1/η2Q_c^{(2)} = W_1/\eta_2. Le premier principe sur son cycle donne Qf(2)=Qc(2)−W1=W1(1η2−1)=W1(1−η2)η2Q_f^{(2)} = Q_c^{(2)} - W_1 = W_1\left(\dfrac{1}{\eta_2} - 1\right) = \dfrac{W_1(1-\eta_2)}{\eta_2}.

Question 3. L'ensemble reçoit W1W_1 de l'extérieur pour actionner M2M_2, mais M1M_1 restitue ce même W1W_1 à l'extérieur : le bilan de travail net est donc nul, et le dispositif combiné n'échange que de la chaleur avec ses deux sources. Le bilan à la source chaude est

Qc(2)−Qc=W1η2−Qc=η1Qcη2−Qc=Qc η1−η2η2>0:Q_c^{(2)} - Q_c = \frac{W_1}{\eta_2} - Q_c = \frac{\eta_1 Q_c}{\eta_2} - Q_c = Q_c\,\frac{\eta_1-\eta_2}{\eta_2} > 0 :

la source chaude reçoit un flux net de chaleur (elle en reçoit plus de M2M_2 qu'elle n'en cède à M1M_1). Par conservation de l'énergie (travail net nul), la source froide doit céder exactement ce même flux :

Qf(1)−Qf(2)=Qc(1−η1)−W1(1−η2)η2=Qc(1−η1)−η1Qc1−η2η2=−Qc η1−η2η2<0.Q_f^{(1)} - Q_f^{(2)} = Q_c(1-\eta_1) - \frac{W_1(1-\eta_2)}{\eta_2} = Q_c(1-\eta_1) - \eta_1 Q_c\frac{1-\eta_2}{\eta_2} = -Q_c\,\frac{\eta_1-\eta_2}{\eta_2} < 0.

Sans aucun travail net échangé avec l'extérieur, ce dispositif fait donc passer spontanément une chaleur Qc(η1−η2)/η2>0Q_c(\eta_1-\eta_2)/\eta_2 > 0 de la source froide vers la source chaude.

Question 4. C'est très exactement ce que l'énoncé de Clausius interdit. Comme M1M_1 et M2M_2 sont toutes deux réversibles, on peut échanger leurs rôles et refaire le même raisonnement en sens inverse : l'hypothèse η1>η2\eta_1 > \eta_2 (et de même η2>η1\eta_2 > \eta_1) est donc impossible, si bien que η1=η2\eta_1 = \eta_2. Toutes les machines réversibles fonctionnant entre les mêmes températures TcT_c et TfT_f ont donc nécessairement le même rendement, quels que soient le fluide de travail et les détails de construction. Ce raisonnement par l'absurde, purement logique, reste entièrement valable aujourd'hui : Carnot avait raison sur la structure de l'argument, bien qu'il croyait encore le calorique conservé (une substance matérielle qui se contenterait de « tomber » du chaud vers le froid comme l'eau d'une cascade, sans que la chaleur puisse se convertir en travail). Seule l'expression numérique ηC=1−Tf/Tc\eta_C = 1 - T_f/T_c lui manquait, faute d'une définition rigoureuse de la température absolue — ce que Kelvin fournira vingt ans plus tard (cf. leçon 10).