Exercice corrigé de thermodynamique

Entropie du gaz parfait : les formules à tout faire

Exercice 19 · Leçon 5 — Réversibilité et irréversibilité : le second principe

  • entropie
  • gaz parfait
  • fonction d'état
  • chemin réversible
  • isentropique
  • loi de Laplace

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On considère nn moles de gaz parfait de capacité thermique molaire CvC_v constante, passant d'un état d'équilibre (TI,VI)(T_I, V_I) à un état d'équilibre (TF,VF)(T_F, V_F) par une transformation quelconque.

  1. En imaginant un chemin réversible reliant les deux états, montrer que ΔS=nCvln⁡TFTI+nRln⁡VFVI.\Delta S = nC_v\ln\frac{T_F}{T_I} + nR\ln\frac{V_F}{V_I}. Pourquoi cette formule vaut-elle aussi pour une transformation irréversible entre ces deux états ?
  2. En déduire l'expression de ΔS\Delta S dans les variables (T,P)(T,P). On rappelle la relation de Mayer Cp=Cv+RC_p = C_v + R.
  3. Quelle est la courbe ΔS=0\Delta S = 0 dans les variables (T,V)(T,V) ? Retrouver la loi de Laplace et justifier le nom d'isentropique donné à l'adiabatique réversible.
  4. Applications numériques pour n=1n = 1 mol de gaz monoatomique (Cv=32RC_v = \frac{3}{2}R) : (a) détente isotherme doublant le volume ; (b) chauffage isochore de 300 K à 600 K ; (c) les deux successivement.

Indication
Le long d'un chemin réversible, dS=δQrev/T\mathrm{d}S = \delta Q_{\text{rev}}/T avec δQrev=dU+P dV\delta Q_{\text{rev}} = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V. Séparer les variables grâce à l'équation d'état. SS est une fonction d'état : sa variation ne dépend pas du chemin.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Sur un chemin réversible, δQrev=dU−δW=nCv dT+P dV\delta Q_{\text{rev}} = \mathrm{d}U - \delta W = nC_v\,\mathrm{d}T + P\,\mathrm{d}V, donc

dS=δQrevT=nCvdTT+nRdVV,\mathrm{d}S = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} = nC_v\frac{\mathrm{d}T}{T} + nR\frac{\mathrm{d}V}{V},

qui s'intègre en ΔS=nCvln⁡(TF/TI)+nRln⁡(VF/VI)\Delta S = nC_v\ln(T_F/T_I) + nR\ln(V_F/V_I). Comme SS est une fonction d'état, ΔS=SF−SI\Delta S = S_F - S_I ne dépend que des états extrêmes : la formule vaut pour toute transformation les reliant, même irréversible. C'est l'astuce fondamentale du cours : on calcule sur un chemin réversible virtuel.

Question 2. V=nRT/PV = nRT/P donne ln⁡(VF/VI)=ln⁡(TF/TI)−ln⁡(PF/PI)\ln(V_F/V_I) = \ln(T_F/T_I) - \ln(P_F/P_I), d'où

ΔS=n(Cv+R)ln⁡TFTI−nRln⁡PFPI=nCpln⁡TFTI−nRln⁡PFPI.\Delta S = n(C_v + R)\ln\frac{T_F}{T_I} - nR\ln\frac{P_F}{P_I} = nC_p\ln\frac{T_F}{T_I} - nR\ln\frac{P_F}{P_I}.

Question 3. ΔS=0\Delta S = 0 équivaut à Cvln⁡(TF/TI)=−Rln⁡(VF/VI)C_v\ln(T_F/T_I) = -R\ln(V_F/V_I), soit TFVFγ−1=TIVIγ−1T_FV_F^{\gamma-1} = T_IV_I^{\gamma-1} en utilisant R/Cv=γ−1R/C_v = \gamma - 1 : c'est la loi de Laplace. Une adiabatique réversible vérifie dS=δQrev/T=0\mathrm{d}S = \delta Q_{\text{rev}}/T = 0 : elle conserve l'entropie, d'où le nom d'isentropique.

Question 4. (a) ΔS=Rln⁡2≈5,8\Delta S = R\ln 2 \approx 5{,}8 J/K. (b) ΔS=32Rln⁡2≈8,6\Delta S = \tfrac{3}{2}R\ln 2 \approx 8{,}6 J/K. (c) Les entropies s'ajoutent (fonction d'état) : ΔS=52Rln⁡2≈14,4\Delta S = \tfrac{5}{2}R\ln 2 \approx 14{,}4 J/K.