Exercice corrigé de thermodynamique

Chauffage d'une masse d'eau : un, deux, puis NN thermostats

Exercice 20 · Leçon 5 — Réversibilité et irréversibilité : le second principe

  • bilan d'entropie
  • thermostat
  • source de chaleur
  • entropie de l'univers
  • réversibilité
  • chauffage

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On néglige la dilatation de l'eau : la chaleur reçue de façon réversible s'écrit δQrev=mc dT\delta Q_{\text{rev}} = mc\,\mathrm{d}T, avec c=4180c = 4180 J·kg−1^{-1}·K−1^{-1} supposée constante. Une masse m=1,0m = 1{,}0 kg d'eau est initialement à T1=273T_1 = 273 K.

  1. L'eau est mise en contact avec un thermostat à T2=373T_2 = 373 K. Quelle est la température finale de l'eau ? Calculer les variations d'entropie de l'eau, du thermostat, et de l'univers {\{eau + thermostat}\}. Commenter les signes.
  2. On recommence en deux étapes : contact avec un thermostat à T3=323T_3 = 323 K jusqu'à l'équilibre, puis avec le thermostat à T2=373T_2 = 373 K. Mêmes questions. Comparer à la question 1.
  3. Que deviennent ces résultats si on multiplie « à l'infini » le nombre de thermostats intermédiaires ? Commenter.

Indication
Pour l'eau, ΔSeau=mcln⁡(Tf/Ti)\Delta S_{\text{eau}} = mc\ln(T_f/T_i) (chemin réversible virtuel). Un thermostat reste à température constante TST_S : ΔSthermostat=Qthermostat/TS\Delta S_{\text{thermostat}} = Q_{\text{thermostat}}/T_S, où Qthermostat=−QeauQ_{\text{thermostat}} = -Q_{\text{eau}}.

Solution détaillée

Solution
Question 1. L'eau finit à T2=373T_2 = 373 K. Elle reçoit Q=mc(T2−T1)=418Q = mc(T_2 - T_1) = 418 kJ.

ΔSeau=mcln⁡373273≈+1305 J/K,ΔSth=−418 000373≈−1121 J/K,\Delta S_{\text{eau}} = mc\ln\frac{373}{273} \approx +1305\ \text{J/K}, \qquad \Delta S_{\text{th}} = -\frac{418\,000}{373} \approx -1121\ \text{J/K},

d'où ΔSuniv≈+184\Delta S_{\text{univ}} \approx +184 J/K. L'eau gagne de l'entropie, le thermostat en perd, et le bilan global est strictement positif : le contact brutal entre corps à températures différentes est irréversible.

Question 2. L'entropie de l'eau est inchangée (fonction d'état, mêmes états extrêmes) : ΔSeau≈+1305\Delta S_{\text{eau}} \approx +1305 J/K. Chaque thermostat fournit mc×50mc\times50 K =209= 209 kJ :

ΔSth,323=−209 000323≈−647 J/K,ΔSth,373=−209 000373≈−560 J/K,\Delta S_{\text{th},323} = -\frac{209\,000}{323} \approx -647\ \text{J/K}, \qquad \Delta S_{\text{th},373} = -\frac{209\,000}{373} \approx -560\ \text{J/K},

d'où ΔSuniv≈1305−647−560≈+98\Delta S_{\text{univ}} \approx 1305 - 647 - 560 \approx +98 J/K. L'étape intermédiaire a presque divisé par deux l'entropie créée : chaque contact se fait entre températures moins éloignées.

Question 3. Avec NN thermostats régulièrement espacés, la somme −∑kmc ΔT/Tk-\sum_k mc\,\Delta T/T_k tend vers l'intégrale −mc∫T1T2dT/T=−mcln⁡(T2/T1)-mc\int_{T_1}^{T_2}\mathrm{d}T/T = -mc\ln(T_2/T_1) : l'entropie perdue par les sources compense exactement celle gagnée par l'eau, et ΔSuniv→0\Delta S_{\text{univ}} \to 0 (comme 1/N1/N). À la limite, le chauffage devient réversible — mais il exige une infinité de thermostats et un temps infini. C'est exactement la transformation réversible idéalisée du cours.