Chauffage d'une masse d'eau : un, deux, puis $N$ thermostats

Question 1. Le schéma montre l'eau initialement à $T_i$, le thermostat à $T_f$ et une flèche de chaleur allant du thermostat vers l'eau. Une frontière entoure l'ensemble isolé $S+\text{extérieur}$. L'eau atteint $T_f$ sans recevoir de travail, donc le premier principe donne

$$Q_{\mathrm{eau}}=\Delta U_{\mathrm{eau}}=mc(T_f-T_i)>0.$$

L'ensemble eau—thermostat est isolé : son énergie totale est conservée,

$$\Delta U_{\mathrm{eau}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.$$

Comme aucun des deux corps n'échange de travail,

$$Q_{\mathrm{eau}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{eau}}=-mc(T_f-T_i)<0.$$

La chaleur reçue par le thermostat est négative : il cède de l'énergie à l'eau.

Question 2. Sur un chemin réversible entre $T_i$ et $T_f$, l'eau reçoit $\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT$. Sa variation d'entropie vaut

$$\Delta S_{\mathrm{eau}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.$$

Le thermostat reste à $T_f$, d'où

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.$$

L'ensemble étant isolé, il n'échange pas d'entropie avec le reste de l'univers. Sa variation d'entropie est donc entièrement produite :

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{eau}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.$$

En effet, $1/T>1/T_f$ pour $T_i\leq T<T_f$, donc $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$. Le transfert de chaleur entre deux corps à températures différentes est irréversible.

Question 3. Posons $h=(T_f-T_i)/2$, de sorte que $T_m-T_i=T_f-T_m=h$. L'eau reçoit $mc h$ à chacune des deux étapes. L'isolement de l'ensemble donne pour les thermostats

$$Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,$$

et donc

$$\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.$$

Pour l'eau, additionnons les variations sur les deux étapes :

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{eau}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Les termes intermédiaires s'annulent. La variation d'entropie de l'eau est exactement la même qu'avec un seul thermostat : l'entropie est une fonction d'état et les états initial et final de l'eau sont identiques dans les deux expériences. Seul le chemin suivi change. Pour l'ensemble isolé,

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].$$

La différence entre les deux bilans vaut

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.$$

Chaque contact produit encore de l'entropie, mais l'étape intermédiaire réduit l'entropie produite au total.

Question 4. Posons $T_0=T_i$ et $T_N=T_f$. À l'étape $k$, l'eau passe de $T_{k-1}$ à $T_k$ et reçoit $mc h$. Le thermostat correspondant reste à $T_k$ et reçoit

$$Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.$$

Pour l'eau, le calcul se télescope à nouveau :

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{eau}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Chaque température intermédiaire apparaît une fois au numérateur et une fois au dénominateur. Multiplier les thermostats ne change donc toujours rien à la variation d'entropie de l'eau, pour les mêmes états extrêmes. En revanche, l'entropie perdue par les thermostats dépend de $N$ :

$$\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].$$

Lorsque $N\to\infty$, $h\to0$ et la somme de Riemann tend vers

$$h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.$$

Ainsi, l'entropie produite dans l'ensemble isolé tend vers

$$\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.$$

L'eau gagne toujours la même entropie, tandis que les thermostats en perdent, à la limite, exactement autant. Le chauffage réversible est la limite idéale de contacts réalisés arbitrairement lentement avec un écart de température infinitésimal.