Exercice corrigé de thermodynamique

Compression adiabatique : progressive ou brutale

Exercice 13 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

compression adiabatique
transformation réversible
transformation irréversible
loi de Laplace
pression extérieure constante

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un cylindre vertical de section $S = 200\ \text{cm}^2$ , aux parois calorifugées, est fermé par un piston calorifugé de masse négligeable, mobile sans frottement. Il contient $m = 2{,}0$ g d'hélium (gaz parfait monoatomique, $M = 4{,}0$ g/mol, $\gamma = 5/3$ ) dans les conditions initiales $T_0 = 300$ K, $P_0 = 1{,}0$ bar. On prendra $g = 10\ \text{m·s}^{-2}$ .

Calculer le nombre de moles $n$ et le volume initial $V_0$ .
On dépose très progressivement, grain par grain, une masse totale $M_s = 100$ kg de sable sur le piston. Justifier que la transformation peut être considérée comme réversible, et calculer le taux de compression $x = P_1/P_0$ . La valeur de $x$ dépend-elle de la façon de déposer le sable ?
Calculer $T_1$ et $V_1$ dans l'état final.
On repart de l'état initial et on dépose cette fois les 100 kg d'un seul coup : le gaz subit brutalement la pression extérieure constante $P_1$ . En appliquant le premier principe, montrer que $T_2 = T_0\,\frac{1 + (\gamma-1)\,x}{\gamma},$ et calculer $T_2$ et $V_2$ .
Comparer $T_1$ et $T_2$ . Laquelle des deux compressions échauffe le plus le gaz ? Interpréter.
Depuis l'état de la question 4, on retire brutalement tout le sable. Déterminer l'état final $(T_3, V_3)$ . Revient-on à l'état initial ? Conclure.

Indication

Question 2 : équilibre des forces sur le piston. Question 4 :

W = -P_1(V_2 - V_0)

car la pression extérieure est constante, et à l'équilibre final

P_2 = P_1

; éliminer les volumes avec l'équation d'état. Question 6 : refaire le même raisonnement avec

P_{\text{ext}} = P_0

depuis

(T_2, P_1)

Solution détaillée

Solution

Question 1.

n = m/M = 0{,}50

mol et

V_0 = nRT_0/P_0 \approx 12{,}5

Question 2. Chaque grain ne déséquilibre le piston que de façon infinitésimale : le gaz passe par une succession continue d'états d'équilibre (transformation quasi-statique sans frottement, donc réversible). L'équilibre final du piston donne

P_1 = P_0 + \frac{M_s\,g}{S} = 10^5 + \frac{1000}{2\times10^{-2}} = 1{,}5\times10^5\ \text{Pa}, \qquad x = 1{,}5.

$x$ ne dépend que de l'équilibre des forces, pas du chemin : il serait le même en déposant la masse d'un coup.

Question 3. Loi de Laplace $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cste}$ :

T_1 = T_0\,x^{(\gamma-1)/\gamma} = 300\times 1{,}5^{2/5} \approx 353\ \text{K}, \qquad V_1 = V_0\,x^{-1/\gamma} \approx 9{,}8\ \text{L}.

Question 4. La transformation est brutale : seule la pression extérieure $P_1$ est définie, et $W = -P_1(V_2 - V_0)$ , $Q = 0$ . Premier principe :

\tfrac{3}{2}nR(T_2 - T_0) = -P_1\!\left(\frac{nRT_2}{P_1} - \frac{nRT_0}{P_0}\right) = -nRT_2 + x\,nRT_0.

D'où $\tfrac{5}{2}T_2 = \left(\tfrac{3}{2} + x\right)T_0$ , ce qui est bien $T_2 = T_0\,\dfrac{1 + (\gamma-1)x}{\gamma}$ pour $\gamma = 5/3$ . Numériquement $T_2 = \tfrac{6}{5}T_0 = 360$ K et $V_2 = nRT_2/P_1 \approx 10{,}0$ L.

Question 5. $T_2 = 360\ \text{K} > T_1 \approx 353\ \text{K}$ : la compression brutale échauffe davantage, à taux de compression identique. Pendant la transformation brutale, le gaz est hors équilibre et la totalité du travail $-P_1\Delta V$ (calculé avec la pression finale, la plus élevée) lui est fournie : il reçoit plus de travail que dans le cas réversible. Cette différence est la signature de l'irréversibilité, que le second principe quantifiera à la leçon suivante.

Question 6. Même raisonnement depuis $(T_2, P_1)$ avec $P_{\text{ext}} = P_0$ , soit un rapport $P_0/P_1 = 2/3$ :

T_3 = T_2\,\frac{1 + (\gamma-1)\cdot\tfrac{2}{3}}{\gamma} = 360\times\frac{13}{15} = 312\ \text{K}, \qquad V_3 = \frac{nRT_3}{P_0} \approx 13{,}0\ \text{L}.

On ne revient pas à l'état initial : après un aller-retour brutal, le gaz est plus chaud ( $312$ K au lieu de $300$ K) et plus dilaté. Le cycle de manipulations est identique, mais l'histoire ne s'efface pas : les transformations brutales sont irréversibles.