Exercice corrigé de thermodynamique

Dilatation thermique d'une colonne d'eau

Exercice 48 · Leçon 8 — Coefficients calorimétriques et thermoélastiques

  • dilatation thermique
  • capacité thermique massique
  • océans
  • bilan thermique

Énoncé

Une colonne d'eau de section A=1012 m2A=10^{12}\ \mathrm{m^2} et de profondeur H=103 mH=10^3\ \mathrm{m} reçoit une énergie thermique Q=3,0×1020 JQ=3{,}0\times10^{20}\ \mathrm{J}. On utilise le modèle uniforme de la leçon : section fixe, échauffement isobare de chaque élément, absence d'échange de matière et coefficients constants. Les données du modèle sont ρ=103 kg m−3\rho=10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, cPmass=4,0×103 J kg−1 K−1c_P^{\mathrm{mass}}=4{,}0\times10^3\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} et α=2,0×10−4 K−1\alpha=2{,}0\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}.

  1. Établir littéralement la masse d'eau mm, l'élévation de température ΔT\Delta T et la hausse de niveau ΔH\Delta H.
  2. Calculer ensuite mm, ΔT\Delta T et ΔH\Delta H avec les données de l'énoncé.
  3. À énergie QQ et section AA fixées, doubler la profondeur modifie-t-il la hausse prédite ? Expliquer la compensation et les limites de ce résultat.

Indication
Utiliser m=ρAHm=\rho AH, Q=mcPmassΔTQ=mc_P^{\mathrm{mass}}\Delta T et ΔV=αAHΔT=AΔH\Delta V=\alpha AH\Delta T=A\Delta H.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Le volume de la colonne est V=AHV=AH. Sa masse vaut donc

m=ρV=ρAH.m=\rho V=\rho AH.

Le chauffage est isobare et cPmassc_P^{\mathrm{mass}} est supposée constante. Le bilan thermique s'écrit

Q=mcPmassΔT,Q=mc_P^{\mathrm{mass}}\Delta T,

d'où, après remplacement de mm,

ΔT=QρAHcPmass.\Delta T=\frac{Q}{\rho AHc_P^{\mathrm{mass}}}.

La dilatation volumique est

ΔV=αVΔT=αAHΔT.\Delta V=\alpha V\Delta T=\alpha AH\Delta T.

Comme la section reste fixe, ΔV=AΔH\Delta V=A\Delta H. Par identification,

ΔH=αHΔT=αQρAcPmass.\Delta H=\alpha H\Delta T =\frac{\alpha Q}{\rho A c_P^{\mathrm{mass}}}.

Question 2. Le volume numérique est AH=1012×103=1015 m3AH=10^{12}\times10^3=10^{15}\,\mathrm{m^3}, donc m=103×1015=1018 kgm=10^3\times10^{15}=10^{18}\,\mathrm{kg}. Puis

ΔT=QmcPmass=3,0×10201018×4,0×103=7,5×10−2 K.\Delta T=\frac{Q}{mc_P^{\mathrm{mass}}} =\frac{3{,}0\times10^{20}}{10^{18}\times4{,}0\times10^3} =7{,}5\times10^{-2}\ \mathrm{K}.

La section étant fixe,

ΔH=ΔVA=αHΔT=2,0×10−4×103×7,5×10−2=1,5×10−2 m=1,5 cm.\Delta H=\frac{\Delta V}{A}=\alpha H\Delta T =2{,}0\times10^{-4}\times10^3\times7{,}5\times10^{-2} =1{,}5\times10^{-2}\ \mathrm{m}=1{,}5\ \mathrm{cm}.

Question 3. En éliminant ΔT\Delta T, ΔH=αQ/(ρAcPmass)\Delta H=\alpha Q/(\rho A c_P^{\mathrm{mass}}). Doubler HH double la masse chauffée et divise ΔT\Delta T par deux : le produit HΔTH\Delta T ne change pas. Cette compensation suppose un échauffement uniforme et les mêmes coefficients dans toute la colonne. Elle ne constitue pas une prévision climatique : l'océan réel est stratifié, ses coefficients varient, et le modèle ne décrit ni la circulation ni l'apport d'eau provenant des glaces continentales.