Exercice corrigé de thermodynamique

Deux chemins entre les mêmes états

Exercice 22 · Leçon 5 — Application au gaz parfait

  • gaz parfait monoatomique
  • fonction d'état
  • dépendance au chemin
  • isotherme
  • isochore
  • isobare

Énoncé

Une mole de gaz parfait monoatomique passe de l'état

A=(Pi,Vi,Ti)A=(P_i,V_i,T_i)

à l'état

B=(3Pi,Vi/3,Ti)B=(3P_i,V_i/3,T_i)

selon deux chemins quasi-statiques :

  1. une compression isotherme directe A→BA\to B ;
  2. un chauffage isochore A→CA\to C jusqu'à la pression 3Pi3P_i, suivi d'une compression isobare C→BC\to B.

Calculer dans les deux cas ΔU\Delta U, WW et QQ. Vérifier explicitement que la variation d'énergie interne est identique, tandis que le travail et la chaleur diffèrent.

Indication
L'état intermédiaire est C=(3Pi,Vi,3Ti)C=(3P_i,V_i,3T_i). Utiliser PiVi=RTiP_iV_i=RT_i et Q=ΔU−WQ=\Delta U-W.

Solution détaillée

Solution
Les états AA et BB ont la même température. Pour les deux chemins,

ΔU=32R(TB−TA)=0.\Delta U=\frac32R(T_B-T_A)=0.

Question 1. Sur la compression isotherme,

W1=−RTiln⁡ ⁣(Vi/3Vi)=RTiln⁡3=PiViln⁡3,W_1 =-RT_i\ln\!\left(\frac{V_i/3}{V_i}\right) =RT_i\ln3 =P_iV_i\ln3,

et

Q1=−W1=−PiViln⁡3.Q_1=-W_1=-P_iV_i\ln3.

Question 2. La branche A→CA\to C est isochore :

WAC=0,ΔUAC=32R(3Ti−Ti)=3RTi,QAC=3RTi.W_{AC}=0, \qquad \Delta U_{AC}=\frac32R(3T_i-T_i)=3RT_i, \qquad Q_{AC}=3RT_i.

La branche C→BC\to B est isobare à la pression 3Pi3P_i :

WCB=−3Pi(Vi3−Vi)=2PiVi=2RTi,ΔUCB=32R(Ti−3Ti)=−3RTi,QCB=ΔUCB−WCB=−5RTi.W_{CB} =-3P_i\left(\frac{V_i}{3}-V_i\right) =2P_iV_i =2RT_i, \Delta U_{CB}=\frac32R(T_i-3T_i)=-3RT_i, \qquad Q_{CB}=\Delta U_{CB}-W_{CB}=-5RT_i.

Au total,

W2=2PiVi,Q2=−2PiVi,ΔU2=0.W_2=2P_iV_i, \qquad Q_2=-2P_iV_i, \qquad \Delta U_2=0.

On a bien la même variation d'énergie interne, mais PiViln⁡3≠2PiViP_iV_i\ln3\neq2P_iV_i : le travail et la chaleur dépendent du chemin suivi.