Exercice corrigé de thermodynamique

Cycle rectangulaire dans le diagramme de Clapeyron

Exercice 23 · Leçon 5 — Application au gaz parfait

  • cycle thermodynamique
  • diagramme de Clapeyron
  • travail
  • aire
  • gaz parfait
  • cycle moteur

Énoncé

Un gaz parfait parcourt quasi-statiquement le cycle rectangulaire horaire

A(V1,P1)→B(V1,P2)→C(V2,P2)→D(V2,P1)→A,A(V_1,P_1)\to B(V_1,P_2)\to C(V_2,P_2) \to D(V_2,P_1)\to A,

avec V2>V1V_2>V_1 et P2>P1P_2>P_1.

  1. Représenter le cycle dans le plan (V,P)(V,P).
  2. Calculer le travail reçu sur chacune des quatre branches.
  3. Calculer le travail total et retrouver le résultat à partir de l'aire du rectangle.
  4. En déduire la chaleur nette reçue sur le cycle. Le cycle est-il moteur ou récepteur ?

Indication
Le travail est nul sur les isochores. Sur une isobare, W=−PΔVW=-P\Delta V. Toute fonction d'état retrouve sa valeur initiale à la fin d'un cycle.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Le point AA est en bas à gauche, BB en haut à gauche, CC en haut à droite et DD en bas à droite. Le parcours est horaire.

Question 2. Les branches A→BA\to B et C→DC\to D sont isochores :

WAB=WCD=0.W_{AB}=W_{CD}=0.

Sur l'isobare supérieure,

WBC=−P2(V2−V1),W_{BC}=-P_2(V_2-V_1),

et sur l'isobare inférieure,

WDA=−P1(V1−V2)=P1(V2−V1).W_{DA}=-P_1(V_1-V_2)=P_1(V_2-V_1).

Question 3. Le travail total reçu est

Wcycle=−(P2−P1)(V2−V1)<0.W_{\mathrm{cycle}} =-(P_2-P_1)(V_2-V_1)<0.

Sa valeur absolue est exactement l'aire du rectangle dans le plan (V,P)(V,P).

Question 4. L'énergie interne étant une fonction d'état,

ΔUcycle=0.\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0.

Le premier principe donne donc

Qcycle=−Wcycle=(P2−P1)(V2−V1)>0.Q_{\mathrm{cycle}} =-W_{\mathrm{cycle}} =(P_2-P_1)(V_2-V_1)>0.

Le gaz reçoit globalement de la chaleur et fournit du travail : le cycle est moteur.