Exercice corrigé de thermodynamique

Compression isotherme à la moitié du volume

Exercice 21 · Leçon 5 — Application au gaz parfait

  • gaz parfait
  • compression isotherme
  • travail
  • chaleur
  • logarithme
  • convention du banquier

Énoncé

Une mole de gaz parfait subit une compression isotherme, quasi-statique et sans frottement à la température T0=300 KT_0=300\ \mathrm{K}, depuis le volume VAV_A jusqu'au volume VB=VA/2V_B=V_A/2.

Calculer WW, ΔU\Delta U et QQ. Commenter soigneusement leurs signes. On prendra R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Indication
Sur une isotherme quasi-statique, remplacer PP par nRT0/VnRT_0/V dans W=−∫P dVW=-\int P\,\mathrm{d}V.

Solution détaillée

Solution
Le travail reçu vaut

W=−RT0ln⁡ ⁣(VBVA)=RT0ln⁡2≃1,73 kJ>0.W =-RT_0\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right) =RT_0\ln2 \simeq1{,}73\ \mathrm{kJ}>0.

Le gaz est comprimé : il reçoit bien du travail. Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température. La transformation étant isotherme,

ΔU=0.\Delta U=0.

Le premier principe impose alors

Q=−W≃−1,73 kJ.Q=-W\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ}.

Le gaz cède sous forme de chaleur toute l'énergie reçue sous forme de travail, ce qui maintient sa température constante.