Exercice corrigé de thermodynamique

Atmosphère isotherme et potentiel chimique

Exercice 39 · Leçon 7 — Structure mathématique : les relations fondamentales

potentiel chimique
atmosphère
loi barométrique
gravité
gaz parfait

Énoncé

Pour une mole d'air à l'altitude $z$ , on donne le potentiel chimique généralisé

\widetilde\mu(T,P,z)=\mu^\circ(T) +RT\ln\!\left(\frac{P}{P^\circ}\right)+Mgz,

où $M$ est la masse molaire de l'air. L'atmosphère est supposée isotherme.

Expliquer pourquoi $\widetilde\mu$ doit être indépendant de $z$ à l'équilibre.
En déduire l'équation différentielle vérifiée par $P(z)$ , puis la loi barométrique.
Estimer $P(h)/P(0)$ pour $h=8{,}85\,\mathrm{km}$ , $T=260\,\mathrm K$ , $M=29{,}0\,\mathrm{g\,mol^{-1}}$ et $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .
Donner une limite importante de ce modèle.

Indication

À l'équilibre, déplacer une petite quantité de matière d'une altitude à une autre ne doit pas modifier l'énergie libre au premier ordre.

Solution détaillée

Solution

1. Si

\widetilde\mu

était plus grand à une altitude qu'à une autre, un transfert de matière vers la région de plus faible potentiel diminuerait l'énergie libre. L'équilibre impose donc

\mathrm d\widetilde\mu=0

. 2. À température constante,

0=\mathrm d\widetilde\mu =RT\frac{\mathrm dP}{P}+Mg\,\mathrm dz.

Ainsi $\mathrm dP/P=-(Mg/RT)\mathrm dz$ . En intégrant de $0$ à $z$ ,

\int_{P(0)}^{P(z)}\frac{\mathrm dP}{P} =-\frac{Mg}{RT}\int_0^z\mathrm dz,

d'où

P(z)=P(0)\exp\!\left(-\frac{Mgz}{RT}\right).

3. La masse molaire en unités SI vaut $M=2{,}90\times10^{-2}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ . L'exposant est

\frac{Mgh}{RT} =\frac{2{,}90\times10^{-2}\times9{,}81\times8{,}85\times10^3} {8{,}314\times260}\simeq1{,}17.

Donc $P(h)/P(0)=e^{-1{,}17}\simeq0{,}31$ .

4. La température réelle de l'atmosphère varie avec l'altitude. Le modèle isotherme donne un ordre de grandeur utile, mais pas un profil précis ; il néglige aussi l'humidité et la variation de composition.