Intégrer une forme différentielle le long d'un chemin

Question 1. $f(x,y) = xy$ convient, puisque $\partial f/\partial x = y$ et $\partial f/\partial y = x$. Question 2. Pour une courbe paramétrée par $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$, on a

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

Le chemin $\gamma_1$ est la réunion de deux segments. Sur le premier, $x(t)=t$ et $y(t)=0$, avec $t\in[0,1]$ ; ainsi $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ et $\mathrm{d}y=0$. Sur le second, $x(t)=1$ et $y(t)=t$, toujours avec $t\in[0,1]$ ; ainsi $\mathrm{d}x=0$ et $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Par conséquent,

$$\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

Pour $\gamma_2$, le premier segment est paramétré par $x(t)=0$, $y(t)=t$, puis le second par $x(t)=t$, $y(t)=1$, avec $t\in[0,1]$ dans les deux cas. On obtient donc

$$\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

Les deux valeurs coïncident. On pouvait le prévoir sans calcul : puisque $\omega_1=\mathrm{d}f$ avec $f(x,y)=xy$, son intégrale ne dépend que des extrémités,

$$\int_\gamma\omega_1 = \int_O^M df =f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

Question 3. Écrivons $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Ici $A(x,y)=y$ et $B(x,y)=0$. Le critère de Schwarz donnerait, si la forme était exacte,

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Or $\partial A/\partial y=1$ tandis que $\partial B/\partial x=0$. Les dérivées croisées diffèrent : $\omega_2$ n'est donc pas exacte. Son intégrale peut alors dépendre du chemin suivi entre $O$ et $M$, ce que vérifie le calcul suivant.

Question 4. Comme $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, seule une variation de $x$ effectuée à une valeur non nulle de $y$ peut contribuer à l'intégrale. En reprenant les paramétrisations précédentes, on trouve sur $\gamma_1$

$$\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}$$

Sur $\gamma_2$, le premier segment vérifie $x(t)=0$, donc $\mathrm{d}x=0$ ; sur le second, $x(t)=t$, $y(t)=1$ et $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Ainsi

$$\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}$$

Enfin, le segment diagonal $\gamma_3$ est paramétré explicitement par

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

d'où $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ et $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Il vient

$$J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.$$

Les trois chemins ont les mêmes extrémités, mais donnent trois valeurs différentes : $J_1=0$, $J_2=1$ et $J_3=1/2$. C'est précisément la dépendance au chemin caractéristique d'une forme différentielle non exacte.