Exercice corrigé de thermodynamique

Exercice de cours : transformations élémentaires

Exercice 17 · Leçon 5 — Application au gaz parfait

exercice de cours
gaz parfait monoatomique
transformation isochore
transformation isotherme
transformation isobare
énergie interne
travail
chaleur
premier principe

Énoncé

On considère $n$ moles de gaz parfait monoatomique, initialement dans l'état $A(P_A,V_A,T_i)$ . On étudie séparément trois transformations quasi-statiques partant toutes de $A$ , avec $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : chauffage isochore de $T_i$ à $T_f$ ;
$A\to C$ : compression isotherme à $T_i$ , de $V_A$ à $V_A/2$ ;
$A\to D$ : chauffage isobare de $T_i$ à $T_f$ .

On adopte la convention du banquier : les transferts reçus par le gaz sont positifs.

Représenter les trois transformations dans un même diagramme de Clapeyron $(P,V)$ et déterminer formellement les états $B$ , $C$ et $D$ .
Calculer formellement $W$ , $\Delta U$ et $Q$ pour chacune des trois transformations.
Commenter les signes des transferts d'énergie.
Application numérique : $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ et $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Indication

Pour un gaz parfait monoatomique,

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. Utiliser

W=-\int P\,\mathrm{d}V

et le premier principe

\Delta U=Q+W

Solution détaillée

Solution

Question 1. L'équation des gaz parfaits donne

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{État} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

Dans le diagramme $(P,V)$ , $A\to B$ est une verticale, $A\to C$ suit l'isotherme $T_i$ vers la gauche et $A\to D$ est une horizontale vers la droite.

Question 2. Chauffage isochore

A\to B

. Comme

\mathrm{d}V=0

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Compression isotherme $A\to C$ . La température est constante, donc $\Delta U_{AC}=0$ . De plus,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Chauffage isobare $A\to D$ . À pression constante, $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , donc

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Question 3. Sur l'isochore, toute la chaleur reçue augmente l'énergie interne. Pendant la compression isotherme, le gaz reçoit du travail et cède exactement la même énergie sous forme de chaleur. Sur l'isobare, le gaz reçoit de la chaleur, augmente son énergie interne et fournit du travail en se dilatant.

Question 4. Avec

T_f-T_i=200\ \mathrm{K}

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Transformation} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Isochore }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Isotherme }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Isobare }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}