Énoncé

Une charge totale $\mathcal Q>0$ est répartie uniformément dans le volume d'une sphère de rayon $R$ , dans le vide. Des contraintes maintiennent cette distribution ; on ne compte ici que son énergie électrostatique $U_{\mathrm{el}}$ . Il ne s'agit pas d'une sphère conductrice, dont les charges à l'équilibre se placeraient en surface.

On assemble la distribution en apportant des coquilles chargées depuis l'infini. Pour une charge déjà assemblée $\mathcal Q(r)$ dans une boule de rayon $r$ , le potentiel à la surface vaut $\Phi(r)=k_e\mathcal Q(r)/r$ , où $k_e=1/(4\pi\varepsilon_0)$ . L'énergie est nulle pour les éléments de charge infiniment séparés.

Dessiner une étape de l'assemblage. Exprimer $\mathcal Q(r)$ et $\mathrm{d}\mathcal Q$ en fonction de $\mathcal Q,R,r$ et $\mathrm{d}r$ , puis calculer $U_{\mathrm{el}}$ .
Dans un modèle continu de $N$ constituants de même charge $q_0$ , on pose $\mathcal Q=Nq_0$ . À densité de particules fixée, écrire $R=r_0N^{1/3}$ et déterminer la dépendance de l'énergie en $N$ . Comparer son signe et son degré d'homogénéité à ceux de la gravitation.
À charge totale fixée, calculer la variation d'énergie lors d'une dilatation de $R_A$ à $R_B>R_A$ . Quel est le signe du travail extérieur reçu si cette dilatation est quasi-statique et sans dissipation ? L'expression de ce travail représente seulement la contribution électrique.
Pour des charges de signes différents, l'énergie d'interaction microscopique s'écrit $U_{\mathrm{el}}=k_e\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}.$
Pourquoi la loi obtenue pour une sphère portant une charge d'un seul signe ne prouve-t-elle pas que toute matière ordinaire est non extensive ? Une charge totale nulle suffit-elle à annuler cette somme ?

Indication

Utiliser

\mathrm{d}U_{\mathrm{el}}=\Phi(r)\,\mathrm{d}\mathcal Q

. La construction par coquilles compte chaque paire une fois. Pour la dernière question, examiner une simple paire de charges

+q_0

et

-q_0

séparées d'une distance

a

.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Le schéma représente la boule déjà chargée, de rayon

r

, et la coquille apportée, d'épaisseur

\mathrm{d}r

. La densité volumique de charge constante vaut

\rho_q=3\mathcal Q/(4\pi R^3)

. Par conséquent,

\mathcal Q(r)=\rho_q\frac{4\pi r^3}{3} =\mathcal Q\frac{r^3}{R^3},\qquad \mathrm{d}\mathcal Q=4\pi\rho_qr^2\,\mathrm{d}r =\frac{3\mathcal Q}{R^3}r^2\,\mathrm{d}r.

La variation d'énergie lors de l'ajout est

\mathrm{d}U_{\mathrm{el}} =\frac{k_e\mathcal Q(r)}{r}\,\mathrm{d}\mathcal Q =\frac{3k_e\mathcal Q^2}{R^6}r^4\,\mathrm{d}r.

En sommant les apports du centre jusqu'à la surface,

\begin{aligned} U_{\mathrm{el}} &=\frac{3k_e\mathcal Q^2}{R^6}\int_0^R r^4\,\mathrm{d}r\\ &=\frac{3k_e\mathcal Q^2}{R^6} \left[\frac{r^5}{5}\right]_0^R =\frac{3k_e\mathcal Q^2}{5R} =\frac{3\mathcal Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}. \end{aligned}

L'interaction de chaque paire de couches est comptée une seule fois ; aucun facteur $1/2$ supplémentaire n'est nécessaire. Le résultat est positif : il faut lutter contre la répulsion pour assembler les charges. Le produit $k_e\mathcal Q^2/R$ s'exprime en joules.

Question 2. À densité de particules

\rho_N=N/(4\pi R^3/3)

fixée, on a

r_0=(3/(4\pi\rho_N))^{1/3}

. En substituant,

U_{\mathrm{el}} =\frac{3k_e(Nq_0)^2}{5r_0N^{1/3}} =\frac{3k_eq_0^2}{5r_0}N^{5/3}.

Cette énergie est de degré $5/3$ , donc non extensive. Son énergie par particule croît comme $N^{2/3}$ . Le degré est le même que pour la sphère gravitationnelle parce que les deux potentiels décroissent comme $1/r$ ; le signe est opposé, puisque des charges de même signe se repoussent. Le modèle continu décrit la contribution collective, sans compter les auto-énergies des charges ponctuelles.

Question 3. À

\mathcal Q

fixé, la différence vaut

\Delta U_{\mathrm{el}} =\frac{3k_e\mathcal Q^2}{5} \left(\frac1{R_B}-\frac1{R_A}\right)<0.

Dans une évolution quasi-statique sans dissipation, la contribution électrique au travail reçu est la variation d'énergie potentielle. On peut aussi le vérifier par intégration :

\begin{aligned} W_{\mathrm{ext}} &=\int_{R_A}^{R_B}-\frac{3k_e\mathcal Q^2}{5R^2}\,\mathrm{d}R\\ &=\left[\frac{3k_e\mathcal Q^2}{5R}\right]_{R_A}^{R_B} =\Delta U_{\mathrm{el}}<0. \end{aligned}

L'agent extérieur retient les charges qui se repoussent et reçoit du travail pendant la dilatation. Aucun autre stockage d'énergie dans le dispositif de maintien n'est inclus dans ce bilan électrique.

Question 4. Pour des charges de même signe, tous les produits

q_iq_j

sont positifs : leurs contributions s'ajoutent. Dans la matière électriquement neutre, il existe au contraire des contributions attractives et répulsives qui peuvent se compenser à grande distance. La neutralité et, dans les milieux où il intervient, l'écrantage modifient ainsi le raisonnement fondé sur l'addition de termes tous de même signe. La neutralité totale ne signifie pourtant pas

U_{\mathrm{el}}=0

. Deux charges

+q_0

et

-q_0

séparées de

a

ont une charge totale nulle mais une énergie d'interaction

-k_eq_0^2/a

, non nulle. Il faut connaître l'organisation et les corrélations entre charges pour établir une loi d'échelle. Le calcul de la sphère uniformément chargée ne constitue donc ni une preuve de non-extensivité de toute matière, ni une preuve d'extensivité des systèmes neutres.