Exercice corrigé de thermodynamique

Adiabatique réversible d'un gaz parfait : lois de Laplace

Exercice 11 · Leçon 4 — Le premier principe de la thermodynamique

  • loi de Laplace
  • adiabatique réversible
  • indice adiabatique
  • gamma
  • détente adiabatique
  • premier principe différentiel

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

On considère nn moles de gaz parfait d'indice adiabatique γ=CP/CV\gamma = C_P/C_V supposé constant. On admet la relation de Mayer CP−CV=nRC_P - C_V = nR (voir l'exercice sur la découverte de CPC_P).

  1. Montrer que CV=nRγ−1,CP=γ nRγ−1.C_V = \frac{nR}{\gamma - 1}, \qquad C_P = \frac{\gamma\, nR}{\gamma - 1}.
  2. Le gaz subit une transformation adiabatique réversible. En partant du premier principe sous forme différentielle, montrer que dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, puis en déduire que TVγ−1=csteTV^{\gamma-1} = \text{cste} le long de la transformation.
  3. En déduire les deux autres formes de la loi de Laplace : PVγ=cstePV^\gamma = \text{cste} et TγP1−γ=csteT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cste}.
  4. Détente adiabatique réversible qui double le volume, pour un gaz monoatomique (γ=5/3\gamma = 5/3), n=1n = 1 mol, TI=300T_I = 300 K. Calculer TFT_F puis WW, et commenter les signes.
  5. Dans le diagramme de Clapeyron, comparer en un même point (V,P)(V,P) la pente d'une adiabatique réversible et celle d'une isotherme.

Indication
Pour la question 2 : dU=CV dT\mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T et δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V avec P=nRT/VP = nRT/V, puis séparer les variables. Pour la question 5, différencier PVγ=cstePV^\gamma = \text{cste} et PV=cstePV = \text{cste}.

Solution détaillée

Solution
Question 1. De CP=γCVC_P = \gamma C_V et CP−CV=nRC_P - C_V = nR : CV(γ−1)=nRC_V(\gamma - 1) = nR, d'où les deux formules.

Question 2. Adiabatique : δQ=0\delta Q = 0, donc dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, soit CV dT=−P dV=−nRTVdVC_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. Avec CV=nR/(γ−1)C_V = nR/(\gamma-1) :

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

En intégrant : ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=cste\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{cste}, c'est-à-dire TVγ−1=csteTV^{\gamma-1} = \text{cste}.

Question 3. En substituant T=PV/(nR)T = PV/(nR) : PVγ=cstePV^\gamma = \text{cste}. En substituant V=nRT/PV = nRT/P : TγP1−γ=csteT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cste}.

Question 4. TF=TI 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_F = T_I\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. Comme Q=0Q = 0 :

W=ΔU=32R(TF−TI)≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R(T_F - T_I) \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0 : le gaz fournit du travail à l'extérieur. Ne pouvant le prélever sur aucune source de chaleur (Q=0Q=0), il puise dans son énergie interne : d'où le refroidissement ΔT<0\Delta T < 0.

Question 5. En différenciant PV=cstePV = \text{cste} : (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}. En différenciant PVγ=cstePV^\gamma = \text{cste} : (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. L'adiabatique est γ\gamma fois plus pentue que l'isotherme : comprimer sans évacuer la chaleur fait monter la pression plus vite, car la température augmente aussi.