Exercice corrigé de thermodynamique

Clausius (1850) : réconcilier Carnot et la conservation de l'énergie

Exercice 60 · Leçon 10 — Machines thermiques

Clausius
entropie
second principe
Carnot
conservation de l'énergie
histoire

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Le premier principe autorise a priori un moteur cyclique monotherme convertissant intégralement une chaleur $Q$ en travail ( $W = Q$ , rendement 100\%). Carnot, lui, affirme qu'aucune machine ne peut avoir un rendement supérieur au cycle réversible entre deux sources $T_c > T_f$ . On se propose de retrouver, comme Clausius, une conséquence quantitative de ce résultat.

On modélise le fluide moteur par un gaz parfait de coefficient $\gamma$ parcourant un cycle de Carnot réversible : une détente isotherme à $T_c$ ( $A \to B$ , volumes $V_A \to V_B$ ), une détente adiabatique ( $B \to C$ , la température passant de $T_c$ à $T_f$ ), une compression isotherme à $T_f$ ( $C \to D$ , volumes $V_C \to V_D$ ), puis une compression adiabatique ( $D \to A$ , ramenant le gaz à $T_c$ ).

Écrire le bilan énergétique de ce moteur : exprimer le travail $W$ produit par cycle en fonction de la chaleur $Q_c$ reçue à $T_c$ et de la chaleur $Q_f$ rejetée à $T_f$ (comptées positivement), et en déduire $\eta_C = W/Q_c$ en fonction de $Q_c$ et $Q_f$ .
Exprimer $Q_c$ (reçue sur $A\to B$ ) et $Q_f$ (rejetée sur $C \to D$ ) à l'aide de $n$ , $R$ , $T_c$ , $T_f$ et des volumes $V_A, V_B, V_C, V_D$ .
En appliquant la loi de Laplace $TV^{\gamma-1} = \text{cste}$ sur chacune des deux branches adiabatiques $B \to C$ et $D \to A$ , montrer que $V_B/V_A = V_C/V_D$ .
On définit $q = Q/T$ pour chaque échange réversible (en comptant algébriquement $+Q_c/T_c$ pour la chaleur reçue et $-Q_f/T_f$ pour la chaleur rejetée). En utilisant les questions précédentes, montrer que $\oint \delta q = Q_c/T_c - Q_f/T_f = 0$ sur ce cycle réversible.
Un moteur réel de rendement $\eta < \eta_C$ rejette, pour la même chaleur $Q_c$ reçue, une chaleur $Q_f' > Q_f$ au froid (où $Q_f$ est la valeur réversible de la question précédente). Que vaut alors $Q_c/T_c - Q_f'/T_f$ ? Interpréter le signe obtenu à la lumière de l'inégalité de Clausius $\oint \delta Q/T \leq 0$ .
En quel sens Clausius a-t-il « comblé » la lacune de Carnot tout en conservant son résultat sur le rendement maximal ?

Indication

Sur une isotherme réversible à température

T

pour un gaz parfait :

Q = nRT\ln(V_{\text{final}}/V_{\text{initial}})

. Sur une adiabatique réversible,

\delta Q = 0

TV^{\gamma - 1}

est constant. Pour la question 5, comparer

Q_f'/T_f

Q_f/T_f

sachant que

Q_c

est inchangée.

Solution détaillée

Solution

Question 1. Sur un cycle,

\Delta U = 0 = Q_c - Q_f - W

, donc

W = Q_c - Q_f

\eta_C = W/Q_c = 1 - Q_f/Q_c

Question 2. Sur l'isotherme $A \to B$ à $T_c$ : $Q_c = nRT_c \ln(V_B/V_A)$ (positif car $V_B > V_A$ , le gaz se détend). Sur l'isotherme $C \to D$ à $T_f$ , le gaz est comprimé ( $V_D < V_C$ ) et rejette la chaleur $Q_f = nRT_f \ln(V_C/V_D) > 0$ .

Question 3. Sur $B \to C$ (adiabatique, $T_c \to T_f$ ) : $T_c V_B^{\gamma-1} = T_f V_C^{\gamma-1}$ , soit $(V_B/V_C)^{\gamma - 1} = T_f/T_c$ . Sur $D \to A$ (adiabatique, $T_f \to T_c$ ) : $T_f V_D^{\gamma - 1} = T_c V_A^{\gamma-1}$ , soit $(V_A/V_D)^{\gamma-1} = T_f/T_c$ . Les deux membres de droite étant égaux, $V_B/V_C = V_A/V_D$ , c'est-à-dire $V_B/V_A = V_C/V_D$ . Cette égalité ne doit rien à l'entropie : elle découle uniquement de la loi de Laplace sur les deux branches adiabatiques.

Question 4. D'après la question 2, $\oint \delta q = \dfrac{Q_c}{T_c} - \dfrac{Q_f}{T_f} = nR\ln(V_B/V_A) - nR\ln(V_C/V_D) = nR\ln\!\left(\dfrac{V_B/V_A}{V_C/V_D}\right)$ . Or la question 3 donne $V_B/V_A = V_C/V_D$ , donc ce rapport vaut $1$ et $\oint \delta q = nR \ln(1) = 0$ .

Question 5. Puisque $Q_c$ est inchangée mais $Q_f' > Q_f$ , on a $Q_f'/T_f > Q_f/T_f = Q_c/T_c$ (question 4), donc

\frac{Q_c}{T_c} - \frac{Q_f'}{T_f} < \frac{Q_c}{T_c} - \frac{Q_f}{T_f} = 0.

Pour ce moteur irréversible, $\oint \delta Q/T < 0$ : c'est bien compatible avec (et un cas particulier de) l'inégalité de Clausius $\oint \delta Q/T \leq 0$ , l'égalité n'ayant lieu que dans le cas réversible. Le signe négatif traduit le fait qu'une partie de la chaleur prélevée à la source chaude est, à cause de l'irréversibilité, rejetée « en pure perte » à la source froide sans avoir produit de travail supplémentaire : le rendement réel est nécessairement inférieur à $\eta_C$ .

Question 6. Clausius accepte la conservation de l'énergie établie par Mayer et Joule, et remarque que la quantité $\oint \delta Q_{\text{rév}}/T$ , nulle pour tout cycle réversible (question 4) et strictement négative dès qu'une irréversibilité intervient (question 5), ne dépend que de l'état du système : elle définit une fonction d'état, l'entropie $S$ , telle que $dS = \delta Q_{\text{rév}}/T$ le long d'une transformation réversible, et qui ne peut que croître dans un système isolé. Carnot avait donc parfaitement raison sur l'existence d'un rendement maximal universel ; il lui manquait seulement cette grandeur d'état permettant de quantifier, au-delà du seul cas réversible, le degré d'irréversibilité de n'importe quelle transformation.