Exercice corrigé de thermodynamique

Solide contre thermostat : la fonction x−1−ln⁡xx - 1 - \ln x

Exercice 21 · Leçon 5 — Réversibilité et irréversibilité : le second principe

  • bilan entropique
  • création d'entropie
  • thermostat
  • solide
  • irréversibilité
  • second principe

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un solide de capacité thermique totale CC (indépendante de la température), initialement à la température T0T_0, est mis en contact prolongé avec un thermostat de température TST_S invariable. On ne précise pas si T0T_0 est supérieure ou inférieure à TST_S.

  1. Exprimer la variation d'entropie du solide, puis celle du thermostat, entre l'état initial et l'état final.
  2. Montrer que la variation d'entropie de l'univers {\{solide + thermostat}\} s'écrit ΔSuniv=C f(x),f(x)=x−1−ln⁡x,x=T0TS.\Delta S_{\text{univ}} = C\,f(x), \qquad f(x) = x - 1 - \ln x, \qquad x = \frac{T_0}{T_S}.
  3. Étudier le signe de ff. Que se passe-t-il pour x=1x = 1 ? Conclure : le sens du transfert de chaleur importe-t-il ?
  4. Application numérique pour C=500C = 500 J/K : T0=350T_0 = 350 K contre TS=300T_S = 300 K, puis T0=250T_0 = 250 K contre TS=300T_S = 300 K.

Indication
Le solide finit à TST_S. Pour le signe de ff, calculer f′(x)=1−1/xf'(x) = 1 - 1/x et remarquer que f(1)=0f(1) = 0 est un minimum.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Le solide passe de T0T_0 à TST_S : ΔSsol=Cln⁡(TS/T0)=−Cln⁡x\Delta S_{\text{sol}} = C\ln(T_S/T_0) = -C\ln x. Il reçoit Q=C(TS−T0)Q = C(T_S - T_0), donc le thermostat reçoit −Q-Q à température fixe TST_S :

ΔSth=−C(TS−T0)TS=C(x−1).\Delta S_{\text{th}} = -\frac{C(T_S - T_0)}{T_S} = C(x - 1).

Question 2. ΔSuniv=ΔSsol+ΔSth=C(x−1−ln⁡x)=C f(x)\Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{sol}} + \Delta S_{\text{th}} = C(x - 1 - \ln x) = C\,f(x).

Question 3. f′(x)=1−1/xf'(x) = 1 - 1/x s'annule en x=1x = 1, négatif avant, positif après : ff atteint son minimum f(1)=0f(1) = 0 en x=1x=1 et est strictement positive partout ailleurs. L'entropie de l'univers augmente donc dès que T0≠TST_0 \neq T_S, que le solide soit plus chaud ou plus froid que le thermostat : dans les deux cas, la chaleur traverse une différence finie de température, et c'est cela qui est irréversible. Elle n'est nulle que pour T0=TST_0 = T_S (aucun transfert).

Question 4. T0=350T_0 = 350 K : x=7/6x = 7/6, f≈0,0125f \approx 0{,}0125, ΔSuniv≈+6,3\Delta S_{\text{univ}} \approx +6{,}3 J/K. T0=250T_0 = 250 K : x=5/6x = 5/6, f≈0,0157f \approx 0{,}0157, ΔSuniv≈+7,8\Delta S_{\text{univ}} \approx +7{,}8 J/K. Positif dans les deux sens, comme prévu.