Exercice corrigé de thermodynamique

Production d'entropie lors d'une détente irréversible

Exercice 22 · Leçon 5 — Réversibilité et irréversibilité : le second principe

  • second principe
  • entropie
  • irréversibilité
  • détente
  • pression extérieure constante
  • gaz parfait

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

nn moles de gaz parfait monoatomique sont initialement à (T0,P0,V0)(T_0, P_0, V_0) dans un cylindre à piston. Le piston est maintenu bloqué par une goupille. On retire la goupille : le gaz se détend brusquement contre une pression extérieure constante Pext=P0/2P_{ext} = P_0/2 jusqu'à l'équilibre mécanique. Les parois sont adiabatiques.

  1. Calculer WW, QQ, ΔU\Delta U et la température finale TfT_f.
  2. Calculer la variation d'entropie ΔS\Delta S du gaz lors de cette transformation.
  3. Vérifier que ΔS>0\Delta S > 0 et interpréter.

Indication
Le travail reçu est W=−Pext(Vf−V0)W = -P_{ext}(V_f - V_0). À l'équilibre final, Pf=PextP_f = P_{ext}. Utiliser ΔU=nCvΔT\Delta U = nC_v \Delta T pour trouver TfT_f, puis calculer ΔS\Delta S en choisissant un chemin réversible entre les mêmes états initial et final.

Solution détaillée

Solution
1. À l'équilibre : Pf=Pext=P0/2P_f = P_{ext} = P_0/2, donc Vf=nRTf/PfV_f = nRT_f/P_f. Parois adiabatiques : Q=0Q = 0.

W=−Pext(Vf−V0)=−P02(Vf−V0).W = -P_{ext}(V_f - V_0) = -\frac{P_0}{2}(V_f - V_0).

Premier principe : ΔU=W\Delta U = W, soit nCv(Tf−T0)=−P02(Vf−V0)nC_v(T_f - T_0) = -\frac{P_0}{2}(V_f - V_0). En utilisant V0=nRT0/P0V_0 = nRT_0/P_0 et Vf=2nRTf/P0V_f = 2nRT_f/P_0 :

nCv(Tf−T0)=−P02 ⁣(2nRTfP0−nRT0P0)=−nR ⁣(Tf−T02).nC_v(T_f - T_0) = -\frac{P_0}{2}\!\left(\frac{2nRT_f}{P_0} - \frac{nRT_0}{P_0}\right) = -nR\!\left(T_f - \frac{T_0}{2}\right).

Avec Cv=32RC_v = \frac{3}{2}R : 32(Tf−T0)=−(Tf−T0/2)\frac{3}{2}(T_f - T_0) = -(T_f - T_0/2), soit Tf=45T0T_f = \frac{4}{5}T_0.

2. Pour calculer ΔS\Delta S, on choisit un chemin réversible reliant (T0,V0)(T_0, V_0) à (Tf,Vf=2nRTf/P0)(T_f, V_f = 2nRT_f/P_0) :

ΔS=nCvln⁡TfT0+nRln⁡VfV0=n⋅32Rln⁡45+nRln⁡85.\Delta S = nC_v \ln\frac{T_f}{T_0} + nR\ln\frac{V_f}{V_0} = n\cdot\frac{3}{2}R\ln\frac{4}{5} + nR\ln\frac{8}{5}.

Numériquement : ΔS≈nR(−0,335+0,470)≈0,135 nR>0\Delta S \approx n R(-0{,}335 + 0{,}470) \approx 0{,}135\,nR > 0.

3. ΔS>0\Delta S > 0 confirme l'irréversibilité de la détente brusque : le système isolé thermiquement voit son entropie augmenter, conformément au second principe.