تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

کشیدن یک سیم کشسان

تمرین 12 · درس 4 — قانون اول ترمودینامیک

کار تعمیم‌یافته
سیم کشسان
کشش
قانون اول

صورت مسئله

سیمی با طول آزاد $L_{0}$ به‌آرامی و بدون پسماند از $L_{A}$ تا $L_{B}$ کشیده می‌شود، با $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . در گسترهٔ مورد بررسی، نیروی کشش تعادلی آن از قانون زیر پیروی می‌کند:

F = K (L - L_{0}),

که در آن $K > 0$ سختی ثابتی است که به دما بستگی ندارد. نیروی کشش خارجی در هر مرحله با کشش سیم موازنه می‌شود. برای انرژی درونی مدل زیر را می‌پذیریم:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

که در آن $C$ ظرفیت گرمایی کل ثابت است و $T_{⋆}, U_{⋆}$ مقدارهای مرجع ثابت‌اند. تغییرات انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی ناچیزند.

سیم، نقطهٔ ثابت آن، سر متحرک و نیروی کشش خارجی را رسم کنید. کار جزئی دریافتی برای تغییر $d L$ را بنویسید و سپس $W_{A \to B}$ را حساب کنید.
کشیدن سیم هم‌دماست. در این مدل $Δ U$ و گرمای دریافتی $Q_{A \to B}$ را حساب کنید. آیا یک تحول هم‌دما در حالت کلی $Δ U = 0$ را ایجاب می‌کند؟
سیم را با پیروی از همان قانون کشش از $L_{B}$ به $L_{A}$ بازمی‌گردانیم. کار دریافتی در این بازگشت و در رفت‌وبرگشت کامل را حساب کنید. چرا این نتیجه به این معنا نیست که هر کاری تابع حالت است؟

راهنمایی

از

δ W = F_{ext} d L

استفاده کنید و از نیروی متغیر انتگرال بگیرید. سپس با به‌کاربردن

Δ U = Q + W

، نتیجه را با تفاضل انرژی درونی حاصل از مدل مقایسه کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. در شکل، سر چپ سیم ثابت است. بر سر راست نیروی کششی به سمت راست وارد می‌شود و جابه‌جایی آن

d L

است. کار دریافتی سیم هنگام بلندشدن آن مثبت است:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

نیرو ثابت نیست. بنابراین باید حساب کرد

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

یکای سختی $N m^{- 1}$ است؛ پس $K (L - L_{0})^{2}$ برحسب $N m$ ، یعنی ژول، بیان می‌شود.

پرسش 2. چون

T_{B} = T_{A}

، جملهٔ گرمایی تغییر نمی‌کند. ثابت‌های مرجع نیز حذف می‌شوند، پس

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

آنگاه قانون اول می‌دهد $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . در این مدل آرمانی، کار دریافتی به‌صورت انرژی کشسانی ذخیره می‌شود. دما ثابت می‌ماند، اما انرژی درونی افزایش می‌یابد؛ پس هم‌دمایی $Δ U = 0$ را ایجاب نمی‌کند. نتیجهٔ $Q = 0$ در اینجا به مدل برگزیده وابسته است و به همهٔ مواد تعمیم نمی‌یابد.

پرسش 3. جابه‌جاکردن حدهای انتگرال علامت آن را عوض می‌کند:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

بنابراین کار دریافتی در رفت‌وبرگشت صفر است. سیم کار ذخیره‌شده را پس می‌دهد. در اینجا قانون تحمیل‌شده کار را برابر تغییر انرژی کشسانی می‌کند که تابعی از $L$ است. این ویژگیِ همین مدل بدون پسماند و همین خانواده از تحول‌هاست، نه ویژگی عمومی انتقال‌های کار.