تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

کار و گرما میان دو حالت در امتداد دو مسیر

تمرین 11 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

  • کار نیروهای فشار
  • گرما
  • هم‌دما
  • هم‌حجم
  • نمودار کلاپیرون
  • دیفرانسیل کامل
  • گاز کامل

صورت مسئله

nn مول گاز کامل تک‌اتمی با انرژی درونی U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT را در نظر می‌گیریم. حالت A(T1,V1)A(T_1,V_1) را با دو مسیر شبه‌ایستا به حالت B(T2,V2)B(T_2,V_2) وصل می‌کنیم، به‌گونه‌ای که در هر لحظه Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P است:

  • Γ1\Gamma_1: انبساط هم‌دما در T1T_1 از V1V_1 تا V2V_2، سپس تحول هم‌حجم در V2V_2 از T1T_1 تا T2T_2؛
  • Γ2\Gamma_2: تحول هم‌حجم در V1V_1 از T1T_1 تا T2T_2، سپس انبساط هم‌دما در T2T_2 از V1V_1 تا V2V_2.

  1. برای حالت T2>T1T_2>T_1 و V2>V1V_2>V_1، مسیرهای Γ1\Gamma_1 و Γ2\Gamma_2 را در نمودار کلاپیرون (P,V)(P,V) رسم کنید. حالت‌های میانی و جهت پیمایش را مشخص کنید.
  2. کارهای دریافتی W1W_1 و W2W_2 را در امتداد هر یک از دو مسیر محاسبه کنید. تفاضل W1−W2W_1-W_2 چقدر است؟
  3. بدون محاسبهٔ جداگانهٔ دو انتگرال، W1−W2W_1-W_2 را به‌روش هندسی از مساحت میان دو مسیر در نمودار کلاپیرون دوباره به دست آورید.
  4. ΔU\Delta U را در امتداد هر یک از دو مسیر محاسبه و سپس Q1Q_1 و Q2Q_2 را نتیجه‌گیری کنید. دربارهٔ ماهیت δQ\delta Q نتیجه بگیرید.
  5. کاربرد عددی: n=1n=1 mol، T1=300T_1=300 K، T2=600T_2=600 K و V2=2V1V_2=2V_1.

راهنمایی
در نمودار کلاپیرون، تحول هم‌حجم خطی عمودی است و منحنی هم‌دمای گاز کامل از P=nRT/VP=nRT/V پیروی می‌کند. منحنی هم‌دمای دمای T2T_2 بالاتر از منحنی دمای T1T_1 قرار دارد. تحول هم‌حجم در کار نیروهای فشار سهمی ندارد. برای پرسش 3، کار دریافتی برابر منفی مساحت جبری زیر مسیر در نمودار (P,V)(P,V) است.

پاسخ تفصیلی

پاسخ
پرسش 1. حالت میانی مسیر Γ1\Gamma_1 را CC و حالت میانی مسیر Γ2\Gamma_2 را DD می‌نامیم. فشارها و حجم‌های آن‌ها عبارت‌اند از

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

چون T2>T1T_2>T_1، منحنی هم‌دمای T2T_2 بالاتر از منحنی هم‌دمای T1T_1 است. مسیر Γ1\Gamma_1 از AA به CC، روی منحنی هم‌دمای پایینی T1T_1 به‌سمت راست، و سپس از CC به BB، روی خط هم‌حجم V2V_2 به‌صورت عمودی رسم می‌شود. مسیر Γ2\Gamma_2 نخست روی خط هم‌حجم V1V_1 از AA به DD به‌صورت عمودی بالا می‌رود و سپس روی منحنی هم‌دمای بالایی T2T_2 از DD به BB به‌سمت راست می‌رود. بنابراین پیکان‌های دو مسیر چنین‌اند:

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
مسیرهای _1 و _2 در نمودار کلاپیرون. منحنی‌های خاکستری ادامهٔ منحنی‌های هم‌دمای T_1 و T_2 هستند.
شکل 1. مسیرهای Γ1\Gamma_1 و Γ2\Gamma_2 در نمودار کلاپیرون. منحنی‌های خاکستری ادامهٔ منحنی‌های هم‌دمای T1T_1 و T2T_2 هستند.

پرسش 2. با قرارداد کار دریافتی گاز، δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V است. تحول هم‌حجم سهمی ندارد و روی یک منحنی هم‌دما با دمای TT،

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

پس به دست می‌آوریم

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

و سپس

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

حالت‌های اولیه و نهایی یکسان‌اند، اما کارها متفاوت‌اند: δW\delta W دیفرانسیل کامل نیست.

پرسش 3. تحول‌های هم‌حجم هیچ مساحتی نمی‌پیمایند. چون کار دریافتی منفی مساحت زیر منحنی است، تفاضل W1−W2W_1-W_2 برابر مساحت میان منحنی‌های هم‌دمای T2T_2 و T1T_1 است:

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

بدین‌ترتیب نتیجهٔ پرسش 2 دوباره به دست می‌آید.

پرسش 4. انرژی درونی گاز کامل تک‌اتمی فقط به دما وابسته است. پس تغییر آن در دو مسیر یکسان است:

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

قانون اول، ΔU=W+Q\Delta U=W+Q، می‌دهد Q=ΔU−WQ=\Delta U-W؛ ازاین‌رو

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

بنابراین،

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

گرمای مبادله‌شده نیز به مسیر وابسته است: برخلاف dU\mathrm{d}U، δQ\delta Q دیفرانسیل کامل نیست.

پرسش 5. با ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693،

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

گاز در مسیر Γ2\Gamma_2 دو برابر کار انجام می‌دهد و گرمای اضافی متناظر را دریافت می‌کند.