تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

کار و گرما میان دو حالت در امتداد دو مسیر

تمرین 19 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

کار نیروهای فشار
گرما
هم‌دما
هم‌حجم
نمودار کلاپیرون
دیفرانسیل کامل
گاز کامل

صورت مسئله

$n$ مول گاز کامل تک‌اتمی با انرژی درونی $U = \frac{3}{2} n R T$ را در نظر می‌گیریم. حالت $A (T_{1}, V_{1})$ را با دو مسیر شبه‌ایستا به حالت $B (T_{2}, V_{2})$ وصل می‌کنیم، به‌گونه‌ای که در هر لحظه $P_{ext} = P$ است:

$Γ_{1}$ : انبساط هم‌دما در $T_{1}$ از $V_{1}$ تا $V_{2}$ ، سپس تحول هم‌حجم در $V_{2}$ از $T_{1}$ تا $T_{2}$ ؛
$Γ_{2}$ : تحول هم‌حجم در $V_{1}$ از $T_{1}$ تا $T_{2}$ ، سپس انبساط هم‌دما در $T_{2}$ از $V_{1}$ تا $V_{2}$ .

برای حالت $T_{2} > T_{1}$ و $V_{2} > V_{1}$ ، مسیرهای $Γ_{1}$ و $Γ_{2}$ را در نمودار کلاپیرون $(P, V)$ رسم کنید. حالت‌های میانی و جهت پیمایش را مشخص کنید.
کارهای دریافتی $W_{1}$ و $W_{2}$ را در امتداد هر یک از دو مسیر محاسبه کنید. تفاضل $W_{1} - W_{2}$ چقدر است؟
بدون محاسبهٔ جداگانهٔ دو انتگرال، $W_{1} - W_{2}$ را به‌روش هندسی از مساحت میان دو مسیر در نمودار کلاپیرون دوباره به دست آورید.
$Δ U$ را در امتداد هر یک از دو مسیر محاسبه و سپس $Q_{1}$ و $Q_{2}$ را نتیجه‌گیری کنید. دربارهٔ ماهیت $δ Q$ نتیجه بگیرید.
کاربرد عددی: $n = 1$ mol، $T_{1} = 300$ K، $T_{2} = 600$ K و $V_{2} = 2 V_{1}$ .

راهنمایی

در نمودار کلاپیرون، تحول هم‌حجم خطی عمودی است و منحنی هم‌دمای گاز کامل از

P = n R T / V

پیروی می‌کند. منحنی هم‌دمای دمای

T_{2}

بالاتر از منحنی دمای

T_{1}

قرار دارد. تحول هم‌حجم در کار نیروهای فشار سهمی ندارد. برای پرسش 3، کار دریافتی برابر منفی مساحت جبری زیر مسیر در نمودار

(P, V)

است.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. حالت میانی مسیر

Γ_{1}

را

C

و حالت میانی مسیر

Γ_{2}

را

D

می‌نامیم. فشارها و حجم‌های آن‌ها عبارت‌اند از

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

چون $T_{2} > T_{1}$ ، منحنی هم‌دمای $T_{2}$ بالاتر از منحنی هم‌دمای $T_{1}$ است. مسیر $Γ_{1}$ از $A$ به $C$ ، روی منحنی هم‌دمای پایینی $T_{1}$ به‌سمت راست، و سپس از $C$ به $B$ ، روی خط هم‌حجم $V_{2}$ به‌صورت عمودی رسم می‌شود. مسیر $Γ_{2}$ نخست روی خط هم‌حجم $V_{1}$ از $A$ به $D$ به‌صورت عمودی بالا می‌رود و سپس روی منحنی هم‌دمای بالایی $T_{2}$ از $D$ به $B$ به‌سمت راست می‌رود. بنابراین پیکان‌های دو مسیر چنین‌اند:

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

مسیرهای _1 و _2 در نمودار کلاپیرون. منحنی‌های خاکستری ادامهٔ منحنی‌های هم‌دمای T_1 و T_2 هستند. — شکل 1. مسیرهای $Γ_{1}$ و $Γ_{2}$ در نمودار کلاپیرون. منحنی‌های خاکستری ادامهٔ منحنی‌های هم‌دمای $T_{1}$ و $T_{2}$ هستند.

پرسش 2. با قرارداد کار دریافتی گاز، $δ W = - P d V$ است. تحول هم‌حجم سهمی ندارد و روی یک منحنی هم‌دما با دمای $T$ ،

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

پس به دست می‌آوریم

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

و سپس

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

حالت‌های اولیه و نهایی یکسان‌اند، اما کارها متفاوت‌اند: $δ W$ دیفرانسیل کامل نیست.

پرسش 3. تحول‌های هم‌حجم هیچ مساحتی نمی‌پیمایند. چون کار دریافتی منفی مساحت زیر منحنی است، تفاضل

W_{1} - W_{2}

برابر مساحت میان منحنی‌های هم‌دمای

T_{2}

T_{1}

است:

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

بدین‌ترتیب نتیجهٔ پرسش 2 دوباره به دست می‌آید.

پرسش 4. انرژی درونی گاز کامل تک‌اتمی فقط به دما وابسته است. پس تغییر آن در دو مسیر یکسان است:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

قانون اول، $Δ U = W + Q$ ، می‌دهد $Q = Δ U - W$ ؛ ازاین‌رو

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

بنابراین،

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

گرمای مبادله‌شده نیز به مسیر وابسته است: برخلاف $d U$ ، $δ Q$ دیفرانسیل کامل نیست.

پرسش 5. با

ln 2 ≃ 0, 693

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

گاز در مسیر $Γ_{2}$ دو برابر کار انجام می‌دهد و گرمای اضافی متناظر را دریافت می‌کند.