تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

چرخهٔ مثلثی

تمرین 20 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

چرخهٔ توان
نمودار کلاپیرون
مساحت چرخه
قانون اول
بازده

صورت مسئله

$n$ مول گاز کامل با ظرفیت گرمایی مولی ثابت $c_{V}$ را در نظر می‌گیریم که چرخهٔ شبه‌ایستای $A \to B \to C \to A$ را می‌پیماید، به‌طوری‌که

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

شاخهٔ $A \to B$ هم‌حجم است، شاخهٔ $B \to C$ پاره‌خطی در صفحهٔ $(P, V)$ است و شاخهٔ $C \to A$ هم‌فشار است.

برای چرخهٔ توان، بازده چنین تعریف می‌شود:

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

که در آن $Q_{in}$ مجموع انتقال‌های گرمایی عنصری $δ Q > 0$ است که گاز در طول چرخه دریافت می‌کند.

چرخه را در نمودار کلاپیرون رسم و جهت پیمایش آن را مشخص کنید. آیا چرخه توان‌ده است یا توان‌گیر؟
معادلهٔ $P (V)$ خطی را تعیین کنید که $B$ را به $C$ متصل می‌کند.
با تعریف $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ ، دماهای $T_{A}$ ، $T_{B}$ و $T_{C}$ را تعیین کنید. چرا با آنکه این شاخه هم‌دما نیست، $Δ U_{B \to C}$ صفر است؟
کار دریافتی را روی هر یک از سه شاخه و سپس روی کل چرخه محاسبه کنید. قدر مطلق کار کل را از مساحت مثلث نیز به دست آورید.
$Δ U$ و $Q$ را روی هر شاخه فقط برحسب $P_{0}$ ، $V_{0}$ و $c_{V}$ محاسبه کنید، سپس درستی $Δ U_{cycle} = 0$ و $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ را بررسی کنید.
با تعریف $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ و $x = V / V_{0}$ ، نشان دهید که علامت $δ Q$ در نقطه‌ای از شاخهٔ $B \to C$ تغییر می‌کند. از آن $Q_{in}$ و سپس بازده $η$ این چرخه را نتیجه بگیرید. مقدار آن را برای گاز کامل تک‌اتمی با $c_{V} = \frac{3}{2} R$ به دست آورید.

راهنمایی

روی

B \to C

، با تحمیل گذر خط از

B

C

P (V) = aV + b

را بیابید. برای محاسبهٔ تغییر انرژی درونی، تنها دماهای دو انتهای شاخه لازم‌اند. برای پرسش 6، قانون اول را به‌صورت دیفرانسیلی به کار ببرید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش‌های 1–2. چرخه در جهت ساعت‌گرد پیموده می‌شود؛ پس چرخهٔ توان است. معادلهٔ خط

B \to C

برابر است با

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

چرخهٔ مثلثی A B C A در نمودار کلاپیرون. — شکل 1. چرخهٔ مثلثی $A \to B \to C \to A$ در نمودار کلاپیرون.

پرسش 3. معادلهٔ حالت می‌دهد

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

دما در امتداد $B \to C$ تغییر می‌کند، اما در دو انتهای آن به مقدار یکسانی می‌رسد. چون در مقدار مادهٔ ثابت، انرژی درونی گاز کامل فقط به دما وابسته است، $Δ U_{B \to C} = 0$ .

پرسش 4. کارهای دریافتی عبارت‌اند از

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

بنابراین،

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

علامت آن منفی است: گاز در طول چرخه کار انجام می‌دهد. قدر مطلق آن نیز برابر مساحت مثلث با قاعدهٔ $V_{0}$ و ارتفاع $P_{0}$ است، بنا بر فرمول $A = \frac{1}{2} قاعده \times ارتفاع$ برای مثلث قائم‌الزاویه.

پرسش 5. چون

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

شاخه A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

با جمع سه شاخه به دست می‌آید

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

پرسش 6. قرار می‌دهیم $a = c_{V} / R$ و $x = V / V_{0}$ . روی شاخهٔ $B \to C$ ، $P = P_{0} (3 - x)$ و $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ است. قانون اول می‌دهد

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

این گرمای عنصری در مقدار زیر صفر می‌شود:

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

وقتی $a > 1$ ، داریم $1 < x_{⋆} < 2$ : گاز از $B$ تا نقطه‌ای با مختصات افقی $x_{⋆}$ گرما دریافت می‌کند و سپس تا $C$ گرما پس می‌دهد. همچنین در $A \to B$ گرمای $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ را دریافت می‌کند. در نتیجه،

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

پس بازده برابر است با

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

برای گاز کامل تک‌اتمی، $a = \frac{3}{2}$ ؛ بنابراین

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.