تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

تمرین درسی: قوانین لاپلاس

تمرین 10 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

  • تمرین درسی
  • قانون لاپلاس
  • نسبت ظرفیت‌های گرمایی
  • گاما
  • انبساط بی‌دررو
  • صورت دیفرانسیلی قانون اول

صورت مسئله

nn مول گاز کامل با نسبت ظرفیت‌های گرمایی γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V را در نظر می‌گیریم که ثابت فرض می‌شود. سامانه بسته فرض می‌شود. رابطهٔ مایر cP−cV=Rc_P - c_V = R را می‌پذیریم (تمرین کشف cPc_P را ببینید).

  1. نشان دهید که cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. گاز دستخوش تحولی بی‌دررو و شبه‌ایستا می‌شود که در آن Pext=PP_{\text{ext}} = P فرض شده است. با آغاز از صورت دیفرانسیلی قانون اول نشان دهید که dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, و سپس نتیجه بگیرید که در طول تحول TVγ−1=ثابتTV^{\gamma-1} = \text{ثابت} است.
  3. دو صورت دیگر قانون لاپلاس را نتیجه بگیرید: PVγ=ثابتPV^\gamma = \text{ثابت} و TγP1−γ=ثابتT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{ثابت}.
  4. چنین انبساطی را در نظر بگیرید که حجم یک گاز تک‌اتمی (γ=5/3\gamma = 5/3) با n=1n = 1 مول و دمای اولیهٔ Ti=300T_i = 300 K را دو برابر می‌کند. TfT_f و سپس ΔT\Delta T و WW را محاسبه و علامت‌های ΔT\Delta T و WW را تفسیر کنید.
  5. در نمودار کلاپیرون (P,V)(P,V)، شیب چنین منحنی بی‌دررویی را با شیب منحنی هم‌دما در یک نقطه مقایسه کنید.

راهنمایی
برای پرسش 2: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T و δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V با P=nRT/VP = nRT/V؛ سپس متغیرها را جدا کنید. برای پرسش 5، از PVγ=ثابتPV^\gamma = \text{ثابت} و PV=ثابتPV = \text{ثابت} دیفرانسیل بگیرید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ
پرسش 1. از cP=γcVc_P = \gamma c_V و cP−cV=Rc_P - c_V = R، رابطهٔ cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R به دست می‌آید و دو فرمول نتیجه می‌شوند.

پرسش 2. تحول بی‌دررو است: δQ=0\delta Q = 0، پس dU=δW\mathrm{d}U = \delta W؛ یعنی ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. با cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1):

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

با انتگرال‌گیری: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=ثابت\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{ثابت}، یعنی TVγ−1=ثابتTV^{\gamma-1} = \text{ثابت}.

پرسش 3. با جای‌گذاری T=PV/(nR)T = PV/(nR)، چون nn ثابت است، PVγ=ثابتPV^\gamma = \text{ثابت} به دست می‌آید. با جای‌گذاری V=nRT/PV = nRT/P، به T(TP)γ−1=ثابتT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{ثابت} و در نتیجه TγP1−γ=ثابتT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{ثابت} می‌رسیم.

پرسش 4. ساده‌ترین راه، استفاده از قانون لاپلاس TVγ−1=ثابتT V^{\gamma - 1} = \text{ثابت} است که می‌دهد: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}، یعنی Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. توجه کنید که برای جلوگیری از خطا، دما را حتماً باید در این محاسبه برحسب کلوین وارد کرد! در نتیجه ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K. برای کار، چون Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: گاز هنگام انبساط روی محیط بیرون کار انجام می‌دهد. چون نمی‌تواند این انرژی را از هیچ منبع گرمایی بگیرد (Q=0Q=0)، آن را از انرژی درونی خود تأمین می‌کند؛ ازاین‌رو ΔT<0\Delta T < 0 و گاز سرد می‌شود.

پرسش 5. با دیفرانسیل‌گیری از PV=ثابتPV = \text{ثابت}: (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}. با دیفرانسیل‌گیری از PVγ=ثابتPV^\gamma = \text{ثابت}: (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. قدر مطلق شیب منحنی بی‌دررو γ\gamma برابر قدر مطلق شیب منحنی هم‌دماست: در تراکم بدون دفع گرما، فشار سریع‌تر افزایش می‌یابد، زیرا دما نیز بالا می‌رود.