تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

تمرین درسی: قوانین لاپلاس

تمرین 18 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

تمرین درسی
قانون لاپلاس
نسبت ظرفیت‌های گرمایی
گاما
انبساط بی‌دررو
صورت دیفرانسیلی قانون اول

صورت مسئله

$n$ مول گاز کامل با نسبت ظرفیت‌های گرمایی $γ = c_{P} / c_{V}$ را در نظر می‌گیریم که ثابت فرض می‌شود. سامانه بسته فرض می‌شود. رابطهٔ مایر $c_{P} - c_{V} = R$ را می‌پذیریم (تمرین کشف $c_{P}$ را ببینید).

نشان دهید که $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
گاز دستخوش تحولی بی‌دررو و شبه‌ایستا می‌شود که در آن $P_{ext} = P$ فرض شده است. با آغاز از صورت دیفرانسیلی قانون اول نشان دهید که $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ و سپس نتیجه بگیرید که در طول تحول $T V^{γ - 1} = ثابت$ است.
دو صورت دیگر قانون لاپلاس را نتیجه بگیرید: $P V^{γ} = ثابت$ و $T^{γ} P^{1 - γ} = ثابت$ .
چنین انبساطی را در نظر بگیرید که حجم یک گاز تک‌اتمی ( $γ = 5/3$ ) با $n = 1$ مول و دمای اولیهٔ $T_{i} = 300$ K را دو برابر می‌کند. $T_{f}$ و سپس $Δ T$ و $W$ را محاسبه و علامت‌های $Δ T$ و $W$ را تفسیر کنید.
در نمودار کلاپیرون $(P, V)$ ، شیب چنین منحنی بی‌دررویی را با شیب منحنی هم‌دما در یک نقطه مقایسه کنید.

راهنمایی

برای پرسش 2:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

با

P = n R T / V

؛ سپس متغیرها را جدا کنید. برای پرسش 5، از

P V^{γ} = ثابت

P V = ثابت

دیفرانسیل بگیرید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. از

c_{P} = γ c_{V}

c_{P} - c_{V} = R

، رابطهٔ

c_{V} (γ - 1) = R

به دست می‌آید و دو فرمول نتیجه می‌شوند. پرسش 2. تحول بی‌دررو است:

δ Q = 0

، پس

d U = δ W

؛ یعنی

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. با

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

با انتگرال‌گیری: $ln T + (γ - 1) ln V = ثابت$ ، یعنی $T V^{γ - 1} = ثابت$ .

پرسش 3. با جای‌گذاری

T = P V / (n R)

، چون

n

ثابت است،

P V^{γ} = ثابت

به دست می‌آید. با جای‌گذاری

V = n R T / P

، به

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = ثابت

و در نتیجه

T^{γ} P^{1 - γ} = ثابت

می‌رسیم. پرسش 4. ساده‌ترین راه، استفاده از قانون لاپلاس

T V^{γ - 1} = ثابت

است که می‌دهد:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

، یعنی

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. توجه کنید که برای جلوگیری از خطا، دما را حتماً باید در این محاسبه برحسب کلوین وارد کرد! در نتیجه

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. برای کار، چون

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : گاز هنگام انبساط روی محیط بیرون کار انجام می‌دهد. چون نمی‌تواند این انرژی را از هیچ منبع گرمایی بگیرد ( $Q = 0$ )، آن را از انرژی درونی خود تأمین می‌کند؛ ازاین‌رو $Δ T < 0$ و گاز سرد می‌شود.

پرسش 5. با دیفرانسیل‌گیری از

P V = ثابت

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. با دیفرانسیل‌گیری از

P V^{γ} = ثابت

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. قدر مطلق شیب منحنی بی‌دررو

γ

برابر قدر مطلق شیب منحنی هم‌دماست: در تراکم بدون دفع گرما، فشار سریع‌تر افزایش می‌یابد، زیرا دما نیز بالا می‌رود.