کار یک تحول پلی‌تروپیک $PV^k=\text{ثابت}$

پرسش 1. رابطهٔ پلی‌تروپیک چنین نوشته می‌شود:

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

با قرارداد علامت بانکدار، کار دریافتی گاز برابر است با

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

برای $k\neq1$، یکی از پادمشتق‌های $V^{-k}$ برابر $V^{1-k}/(1-k)$ است. بنابراین،

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

از سوی دیگر،

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

در نتیجه،

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

پرسش 2. برای $k=0$، رابطهٔ $PV^0=C$ به $P=C$ تبدیل می‌شود: تحول هم‌فشار است. چون $P_A=P_B=P$،

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

بدین‌ترتیب عبارت مستقیم کار هم‌فشار دوباره به دست می‌آید.

پرسش 3. برای تحول هم‌حجم، $V_B=V_A$ و در هر لحظه $\mathrm{d}V=0$ است. در نتیجه،

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

یک تحول هم‌حجم نابدیهی با هیچ مقدار متناهی $k$ متناظر نیست: اگر $V$ ثابت باشد، رابطهٔ $PV^k=\text{ثابت}$ ایجاب می‌کند که $P$ نیز ثابت باشد. تنها می‌توان تحول هم‌حجم را به‌صورت حد صوری $k\to\infty$ در نظر گرفت.

پرسش 4. برای $k=1$، تابع زیر انتگرال با $1/V$ متناسب است: پادمشتق دیگر تابع توانی نیست، بلکه لگاریتم است. بنابراین باید انتگرال‌گیری را جداگانه از نو انجام داد. رابطهٔ پلی‌تروپیک به‌شکل زیر درمی‌آید:

$$PV=C.$$

برای گاز کامل بسته، $PV=nRT$؛ پس دما ثابت و $C=nRT$ است. کار دریافتی آنگاه برابر است با

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

در تراکم، $V_B/V_A<1$، پس لگاریتم منفی و $W_{A\to B}>0$ است، همان‌گونه که انتظار می‌رود.