تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

کار یک تحول پلی‌تروپیک $P V^{k} = ثابت$

تمرین 22 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

تحول پلی‌تروپیک
کار نیروهای فشار
قانون لاپلاس

صورت مسئله

تحولی شبه‌ایستا از یک گاز کامل را در نظر می‌گیریم که از $P V^{k} = ثابت$ پیروی می‌کند، با $k \in R$ و $k \neq = 1$ .

$W_{A \to B}$ را برحسب $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ و $k$ محاسبه کنید.
نتیجه را برای تحول هم‌فشار ( $k = 0$ ) دوباره به دست آورید.
برای تحول هم‌حجم، بدون استفاده از فرمول پیشین، مقدار آن چقدر است؟
برای $k = 1$ چه رخ می‌دهد؟ رابطهٔ $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ را دوباره به دست آورید.

راهنمایی

قرار دهید

P (V) = C V^{- k}

با

C = P_{A} V_{A}^{k}

، انتگرال بگیرید و سپس از

C V^{1 - k} = P V

استفاده کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. رابطهٔ پلی‌تروپیک چنین نوشته می‌شود:

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

با قرارداد علامت بانکدار، کار دریافتی گاز برابر است با

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

برای $k \neq = 1$ ، یکی از پادمشتق‌های $V^{- k}$ برابر $V^{1 - k} / (1 - k)$ است. بنابراین،

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

از سوی دیگر،

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

در نتیجه،

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

پرسش 2. برای $k = 0$ ، رابطهٔ $P V^{0} = C$ به $P = C$ تبدیل می‌شود: تحول هم‌فشار است. چون $P_{A} = P_{B} = P$ ،

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

بدین‌ترتیب عبارت مستقیم کار هم‌فشار دوباره به دست می‌آید.

پرسش 3. برای تحول هم‌حجم،

V_{B} = V_{A}

و در هر لحظه

d V = 0

است. در نتیجه،

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

یک تحول هم‌حجم نابدیهی با هیچ مقدار متناهی $k$ متناظر نیست: اگر $V$ ثابت باشد، رابطهٔ $P V^{k} = ثابت$ ایجاب می‌کند که $P$ نیز ثابت باشد. تنها می‌توان تحول هم‌حجم را به‌صورت حد صوری $k \to \infty$ در نظر گرفت.

پرسش 4. برای

k = 1

، تابع زیر انتگرال با

1/ V

متناسب است: پادمشتق دیگر تابع توانی نیست، بلکه لگاریتم است. بنابراین باید انتگرال‌گیری را جداگانه از نو انجام داد. رابطهٔ پلی‌تروپیک به‌شکل زیر درمی‌آید:

P V = C .

برای گاز کامل بسته، $P V = n R T$ ؛ پس دما ثابت و $C = n R T$ است. کار دریافتی آنگاه برابر است با

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

در تراکم، $V_{B} / V_{A} < 1$ ، پس لگاریتم منفی و $W_{A \to B} > 0$ است، همان‌گونه که انتظار می‌رود.