چرخهٔ سرمایشی مستطیلی

پرسش 1. نقطه‌های $A$، $B$، $C$ و $D$ به‌ترتیب در پایین چپ، پایین راست، بالا راست و بالا چپ قرار دارند. شاخه‌های $A\to B$ و $C\to D$ هم‌فشارند؛ $B\to C$ و $D\to A$ هم‌حجم‌اند. مسیر $A\to B\to C\to D\to A$ پادساعت‌گرد است.

پرسش 2. کار دریافتی گاز برابر است با

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

این کار روی شاخه‌های هم‌حجم $B\to C$ و $D\to A$ صفر است. روی دو شاخهٔ هم‌فشار،

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

بنابراین،

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

این مقدار همان مساحت مستطیل در نمودار کلاپیرون است.

پرسش 3. برای گاز کامل تک‌اتمی،

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

روی شاخهٔ هم‌فشار، معادلهٔ حالت می‌دهد $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$. پس،

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

روی شاخهٔ هم‌حجم نیز $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$، و ازاین‌رو

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

در پایان، قانون اول $\Delta U=Q+W$، یعنی $Q=\Delta U-W$، به جدول خلاصهٔ زیر می‌انجامد:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{شاخه} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

پرسش 4. مجموع تغییرهای انرژی درونی صفر است. بنابراین قانون اول ایجاب می‌کند

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

گاز در مجموع کار دریافت می‌کند؛ پس چرخه توان‌گیر است. گاز روی $A\to B$ و $B\to C$ گرما دریافت می‌کند. روی این دو شاخه از منابع سردی که با آن‌ها در تماس قرار می‌گیرد گرما می‌گیرد: پس این منابع خارجی، برای نمونه فضای داخلی و مواد غذایی درون یخچال، سرد می‌شوند، نه خود گازی که چرخه را می‌پیماید.

در $C\to D$ و $D\to A$، گاز برعکس به منابع گرم، مانند هوای اتاق، گرما پس می‌دهد. اگر کل گرمای دریافتی این منابع را $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ بنامیم،

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

بدین‌ترتیب چرخه به کمک کاری که دریافت می‌کند، گرما را از منابع سرد به منابع گرم منتقل می‌کند.

پرسش 5. گرمای گرفته‌شده از سوی گاز برابر است با

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

در نتیجه،

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

پرسش 6. COP بهرهٔ سرمایشی به‌دست‌آمده نسبت به کار صرف‌شده را می‌سنجد: COP برابر $k$ یعنی هر ژول کار داده‌شده امکان گرفتن $k$ ژول گرما از منابع سرد را فراهم می‌کند.

برخلاف بازده موتور حرارتی، COP کسری از انرژی دریافتی نیست که به کار تبدیل شود. گاز هم کار $W_{\mathrm{in}}$ و هم گرمای $Q_f$ گرفته‌شده از منابع سرد را دریافت و سپس مجموع آن‌ها را به منابع گرم دفع می‌کند:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

پس هیچ دلیلی ندارد که $Q_f$ از $W_{\mathrm{in}}$ کمتر باشد و COP می‌تواند بی‌آنکه با پایستگی انرژی ناسازگار باشد، بزرگ‌تر از 1 شود.

پرسش 7. اینجا $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa و $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$ است:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{شاخه} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

بنابراین $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J، $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J و $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. گرمای گرفته‌شده برابر است با

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

درحالی‌که گرمای داده‌شده به منابع گرم برابر است با

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

پس ضریب عملکرد سرمایشی برابر است با

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$