تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

چرخهٔ سرمایشی مستطیلی؟

تمرین 23 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

چرخهٔ ترمودینامیکی
چرخهٔ مستطیلی
نمودار کلاپیرون
کار
گرما
مساحت
گاز کامل
چرخهٔ توان‌گیر
ماشین سرمایشی

صورت مسئله

$n$ مول گاز کامل تک‌اتمی با $U = \frac{3}{2} n R T$ را در نظر می‌گیریم که چرخهٔ مستطیلی پادساعت‌گرد زیر را به‌صورت شبه‌ایستا می‌پیماید:

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

که در آن $V_{2} > V_{1}$ و $P_{2} > P_{1}$ است. می‌نویسیم

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

چرخه را در نمودار کلاپیرون $(P, V)$ رسم و نوع هر شاخه را مشخص کنید.
کار دریافتی را روی هر یک از چهار شاخه برحسب $Δ V$ ، هنگامی که این کمیت تغییر می‌کند، و سپس کار کل را برحسب $Δ P$ و $Δ V$ محاسبه کنید. مقدار آن را از مساحت مستطیل نیز به دست آورید.
با استفاده از $Δ P$ روی شاخه‌های هم‌حجم و $Δ V$ روی شاخه‌های هم‌فشار، $Δ U$ و $Q$ را برای هر شاخه برحسب $P_{1}$ ، $P_{2}$ ، $V_{1}$ ، $V_{2}$ ، $Δ P$ و $Δ V$ بیان کنید.
درستی $Δ U_{cycle} = 0$ و $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ را بررسی کنید. چرخه توان‌ده است یا توان‌گیر؟ گاز روی کدام شاخه‌ها گرما دریافت می‌کند و روی کدام شاخه‌ها گرما پس می‌دهد؟ نشان دهید که کل گرمایی که گاز پس می‌دهد، $Q_{out} > 0$ ، برابر است با کل گرمایی که دریافت می‌کند، $Q_{in} > 0$ ، به‌علاوهٔ کار دریافتی $W_{cycle}$ .
دماهای $T_{A}$ ، $T_{B}$ ، $T_{C}$ و $T_{D}$ چهار رأس را بنویسید. کدام کمترین و کدام بیشترین است؟ دمای گاز روی هر شاخه چگونه تغییر می‌کند؟ گاز میان کدام دماها گرما دریافت می‌کند و میان کدام دماها گرما پس می‌دهد؟
می‌خواهیم از این چرخه به‌عنوان یخچال استفاده کنیم: گرما را از یک محفظهٔ سرد بگیریم و به هوای گرم‌تر اتاق بدهیم. برای اینکه جسمی گرما دریافت کند، منبعی که با آن در تماس است باید از آن گرم‌تر باشد. منابعی که به گاز گرما می‌دهند و منابعی که از آن گرما می‌گیرند باید چه دماهایی داشته باشند؟ آیا این چرخه می‌تواند مانند یخچال کار کند؟
کاربرد عددی: $P_{1} = 1, 0$ bar، $P_{2} = 3, 0$ bar، $V_{1} = 5, 0$ L و $V_{2} = 15, 0$ L. $W$ و $Q$ را روی هر شاخه و سپس $W_{cycle}$ ، $Q_{in}$ و $Q_{out}$ را حساب کنید. در پایان نسبت‌های $T_{B} / T_{A}$ ، $T_{C} / T_{A}$ و $T_{D} / T_{A}$ را حساب کنید و نتیجه بگیرید.

راهنمایی

روی تحول هم‌حجم،

n R Δ T = V Δ P

و کار صفر است. روی تحول هم‌فشار،

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

است. هر تابع حالت در پایان چرخه به مقدار اولیهٔ خود بازمی‌گردد.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. نقطه‌های

A

B

C

D

به‌ترتیب در پایین چپ، پایین راست، بالا راست و بالا چپ قرار دارند. شاخه‌های

A \to B

C \to D

هم‌فشارند؛

B \to C

D \to A

هم‌حجم‌اند. مسیر

A \to B \to C \to D \to A

پادساعت‌گرد است.

شکل 1. چرخهٔ مستطیلی هم‌فشار–هم‌حجم در نمودار کلاپیرون.

پرسش 2. کار دریافتی گاز برابر است با

W = - \int P_{ext} d V .

این کار روی شاخه‌های هم‌حجم $B \to C$ و $D \to A$ صفر است. روی دو شاخهٔ هم‌فشار،

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

بنابراین،

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

این مقدار همان مساحت مستطیل در نمودار کلاپیرون است.

پرسش 3. برای گاز کامل تک‌اتمی،

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

روی شاخهٔ هم‌فشار، معادلهٔ حالت می‌دهد $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . پس،

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

روی شاخهٔ هم‌حجم نیز $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ ، و ازاین‌رو

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

در پایان، قانون اول $Δ U = Q + W$ ، یعنی $Q = Δ U - W$ ، به جدول خلاصهٔ زیر می‌انجامد:

شاخه A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

پرسش 4. مجموع تغییرات انرژی درونی، مانند هر تابع حالت در یک چرخه، صفر است. بنابراین قانون اول ایجاب می‌کند

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

گاز در مجموع کار دریافت می‌کند: چرخه توان‌گیر است. طبق جدول، گاز روی $A \to B$ و $B \to C$ گرما دریافت می‌کند و روی $C \to D$ و $D \to A$ گرما پس می‌دهد:

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

با کم‌کردن این دو و با $P_{2} - P_{1} = Δ P$ و $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ،

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

پس

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

در یک چرخه، گاز همهٔ انرژی دریافتی خود را، چه گرما و چه کار، به‌صورت گرما پس می‌دهد.

پرسش 5. معادلهٔ حالت در هر رأس

T = P V / (n R)

را می‌دهد:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

چون $P_{1} < P_{2}$ و $V_{1} < V_{2}$ ، حاصل‌ضرب $P V$ در $A$ کمینه و در $C$ بیشینه است: $T_{A}$ پایین‌ترین دمای چرخه، $T_{C}$ بالاترین آن، و $T_{B}$ و $T_{D}$ دماهای میانی‌اند.

روی هم‌فشار

A \to B

، حجم

V

در فشار ثابت افزایش می‌یابد، پس

T

از

T_{A}

تا

T_{B}

بالا می‌رود. روی هم‌حجم

B \to C

، فشار

P

در حجم ثابت افزایش می‌یابد، پس

T

از

T_{B}

تا

T_{C}

بالا می‌رود. به همین ترتیب،

T

روی

C \to D

از

T_{C}

تا

T_{D}

و سپس روی

D \to A

از

T_{D}

تا

T_{A}

پایین می‌آید. بنابراین گاز هنگامی گرما دریافت می‌کند که دمایش از پایین‌ترین مقدار

T_{A}

تا بالاترین مقدار

T_{C}

بالا می‌رود، و هنگامی گرما پس می‌دهد که دمایش دوباره از

T_{C}

تا

T_{A}

پایین می‌آید. پرسش 6. گاز برای دریافت گرما باید با منابعی در تماس باشد که دست‌کم به گرمی خودش باشند؛ در حد شبه‌ایستا، دمای این منابع دمای گاز را دنبال می‌کند. بنابراین دمای منابعی که به گاز گرما می‌دهند از

T_{A}

تا

T_{C}

، بالاترین دمای چرخه، گسترده است. برعکس، دمای منابعی که گرمای گاز را می‌گیرند از

T_{C}

تا

T_{A}

، پایین‌ترین دمای چرخه، گسترده است. پس سمت سرد و سمت گرمِ جدا از هم وجود ندارد: گاز از منابع بسیار گرم گرما می‌گیرد و به منابع بسیار سرد گرما می‌دهد. این چرخه نمی‌تواند یخچال باشد، زیرا یخچال باید گرما را در پایین‌ترین دماها بگیرد و در بالاترین دماها پس بدهد. این چرخه کار دریافت می‌کند و همهٔ آن را به‌صورت گرما پس می‌دهد (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

) و در این میان گرما را میان منابعی با دماهای گوناگون جابه‌جا می‌کند. برعکس، یخچال باید گرما را در سردترین بخش‌های چرخهٔ خود جذب کند و در گرم‌ترین بخش‌ها پس بدهد. این همان چیزی است که در چرخهٔ کارنوی وارون، که در درس 6 بررسی می‌شود، رخ می‌دهد: گاز در امتداد هم‌دمای سرد گرما دریافت می‌کند و در امتداد هم‌دمای گرم گرما پس می‌دهد. بنابراین توان‌گیر بودن یک چرخه برای سرمایشی بودن آن کافی نیست. پرسش 7. اینجا

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa و

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

است:

شاخه A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

بدین‌ترتیب $W_{cycle} = + 2000 J$ ، $Q_{cycle} = - 2000 J$ و $Δ U_{cycle} = 0$ . گرمای دریافتی $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ و گرمای پس‌داده‌شده $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ است. نسبت‌های دما به $n$ بستگی ندارند:

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

اگر پایین‌ترین دمای چرخه دمای یک محفظهٔ سرد بود، مثلاً $T_{A} = 270 K$ ، گاز می‌بایست از منابعی با دمای تا $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ گرما دریافت کند. روشن است که چنین چرخه‌ای محفظه را سرد نمی‌کند.