تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

گرم‌کردن در فشار ثابت: کشف cPc_P

تمرین 13 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

  • ظرفیت گرمایی
  • فشار ثابت
  • رابطهٔ مایر
  • گرم‌کردن هم‌فشار
  • گاز کامل

صورت مسئله

یک مول گاز کامل با ظرفیت گرمایی مولی cVc_V در استوانه‌ای با حجم اولیهٔ V0V_0 محبوس است. استوانه با پیستونی بی‌اصطکاک، متحرک و بی‌دررو بسته شده است که تحت فشار خارجی ثابت P0P_0 قرار دارد. یک مقاومت الکتریکی درون گاز به‌طور شبه‌ایستا گرمای Q>0Q>0 را به آن می‌دهد.

  1. طرح ساده‌ای از دستگاه رسم کنید. گاز، پیستون، مقاومت، فشار خارجی P0P_0 و تبادل‌های انرژی را مشخص کنید.
  2. بدون استفاده از مقدارهای عددی، دمای اولیهٔ T0T_0 را بیان کنید و سپس حالت نهایی (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f)، کار WW دریافتی گاز و تغییر انرژی درونی آن ΔU\Delta U را تعیین کنید.
  3. ظرفیت گرمایی مولی در فشار ثابت، cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P، را برحسب cVc_V و RR نتیجه بگیرید.
  4. کاربرد عددی برای گاز کامل تک‌اتمی: cV=32Rc_V=\frac32R، V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}، P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}، Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} و R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

راهنمایی
تحول هم‌فشار است: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. برای یک مول گاز کامل، P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T است. این رابطه‌ها را در قانون اول جای‌گذاری کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ
پرسش 1. طرح باید گاز را درون استوانه‌ای نشان دهد که با پیستونی متحرک بسته شده است. پیکانی درون استوانه گرمای QQ داده‌شده از سوی مقاومت را نشان می‌دهد. فشار خارجی P0P_0 بر پیستون وارد می‌شود و پیستون هنگام انبساط گاز به‌سمت بالا حرکت می‌کند.

پرسش 2. معادلهٔ حالت اولیه می‌دهد

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

فشار ثابت می‌ماند، پس Pf=P0P_f=P_0. همچنین، W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. قانون اول آنگاه می‌دهد

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

و از آن

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

پس حالت نهایی چنین است:

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

در پایان،

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

پرسش 3. چون در فشار ثابت Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T،

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

این همان رابطهٔ مایر است.

پرسش 4. برای گاز تک‌اتمی،

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

به دست می‌آوریم

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

در پایان،

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.