تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

گرم‌کردن در فشار ثابت: کشف $c_{P}$

تمرین 21 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

ظرفیت گرمایی
فشار ثابت
رابطهٔ مایر
گرم‌کردن هم‌فشار
گاز کامل

صورت مسئله

یک مول گاز کامل با ظرفیت گرمایی مولی $c_{V}$ در استوانه‌ای با حجم اولیهٔ $V_{0}$ محبوس است. استوانه با پیستونی بی‌اصطکاک، متحرک و بی‌دررو بسته شده است که تحت فشار خارجی ثابت $P_{0}$ قرار دارد. یک مقاومت الکتریکی درون گاز به‌طور شبه‌ایستا گرمای $Q > 0$ را به آن می‌دهد.

طرح ساده‌ای از دستگاه رسم کنید. گاز، پیستون، مقاومت، فشار خارجی $P_{0}$ و تبادل‌های انرژی را مشخص کنید.
بدون استفاده از مقدارهای عددی، دمای اولیهٔ $T_{0}$ را بیان کنید و سپس حالت نهایی $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ ، کار $W$ دریافتی گاز و تغییر انرژی درونی آن $Δ U$ را تعیین کنید.
ظرفیت گرمایی مولی در فشار ثابت، $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ ، را برحسب $c_{V}$ و $R$ نتیجه بگیرید.
کاربرد عددی برای گاز کامل تک‌اتمی: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ ، $V_{0} = 25 L$ ، $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ ، $Q = 1000 J$ و $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

راهنمایی

تحول هم‌فشار است:

W = - P_{0} Δ V

. برای یک مول گاز کامل،

P_{0} Δ V = R Δ T

است. این رابطه‌ها را در قانون اول جای‌گذاری کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. طرح باید گاز را درون استوانه‌ای نشان دهد که با پیستونی متحرک بسته شده است. پیکانی درون استوانه گرمای

Q

داده‌شده از سوی مقاومت را نشان می‌دهد. فشار خارجی

P_{0}

بر پیستون وارد می‌شود و پیستون هنگام انبساط گاز به‌سمت بالا حرکت می‌کند. پرسش 2. معادلهٔ حالت اولیه می‌دهد

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

فشار ثابت می‌ماند، پس $P_{f} = P_{0}$ . همچنین، $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . قانون اول آنگاه می‌دهد

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

و از آن

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

پس حالت نهایی چنین است:

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

در پایان،

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

پرسش 3. چون در فشار ثابت $Q = (c_{V} + R) Δ T$ ،

c_{P} = c_{V} + R .

این همان رابطهٔ مایر است.

پرسش 4. برای گاز تک‌اتمی،

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

به دست می‌آوریم

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

در پایان،

W = - 400 J, Δ U = 600 J .