تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

کره‌ای باردار و مسئلهٔ گستردگی

تمرین 16 · درس 4 — قانون اول ترمودینامیک

برهم‌کنش کولنی
انرژی الکتروستاتیکی
گستردگی
خنثایی الکتریکی

صورت مسئله

بار کل $Q > 0$ به‌طور یکنواخت در حجم کره‌ای به شعاع $R$ در خلأ توزیع شده است. قیدهایی این توزیع را نگه می‌دارند؛ در اینجا تنها انرژی الکتروستاتیکی آن، $U_{el}$ ، را به حساب می‌آوریم. موضوع یک کرهٔ رسانا نیست که بارهایش در تعادل روی سطح قرار گیرند.

توزیع را با آوردن پوسته‌های باردار از بی‌نهایت می‌سازیم. برای باری $Q (r)$ که از پیش در گوی‌ای به شعاع $r$ گرد آمده است، پتانسیل در سطح برابر $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ است، با $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . انرژی برای اجزای باری که بی‌نهایت از هم دورند صفر است.

یک مرحله از ساخت را رسم کنید. $Q (r)$ و $d Q$ را برحسب $Q, R, r$ و $d r$ بنویسید و سپس $U_{el}$ را حساب کنید.
در یک مدل پیوسته از $N$ جزء سازنده با بار یکسان $q_{0}$ ، قرار می‌دهیم $Q = N q_{0}$ . در چگالی ذره‌ای ثابت، $R = r_{0} N^{1/3}$ را بنویسید و وابستگی انرژی به $N$ را تعیین کنید. علامت و درجهٔ همگنی آن را با گرانش مقایسه کنید.
در بار کل ثابت، تغییر انرژی را هنگام انبساط از $R_{A}$ به $R_{B} > R_{A}$ حساب کنید. اگر این انبساط شبه‌ایستا و بدون اتلاف باشد، علامت کار خارجی دریافتی چیست؟ عبارت این کار تنها سهم الکتریکی را نشان می‌دهد.
برای بارهایی با علامت‌های مختلف، انرژی برهم‌کنش میکروسکوپی چنین نوشته می‌شود: $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
چرا قانونی که برای کره‌ای با بار تک‌علامت به دست آمد ثابت نمی‌کند که هر مادهٔ معمولی ناگسترده است؟ آیا صفربودن بار کل برای صفرشدن این مجموع کافی است؟

راهنمایی

از

d U_{el} = Φ (r) d Q

استفاده کنید. ساخت با پوسته‌ها هر جفت را یک بار می‌شمارد. برای پرسش آخر، یک جفت سادهٔ بار

+ q_{0}

- q_{0}

را با فاصلهٔ

a

از هم بررسی کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. شکل گوی باردارِ از پیش ساخته‌شده به شعاع

r

و پوستهٔ آورده‌شده به ضخامت

d r

را نشان می‌دهد. چگالی حجمی بار ثابت برابر

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

است. در نتیجه

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

تغییر انرژی هنگام افزودن پوسته برابر است با

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

با جمع‌کردن سهم‌ها از مرکز تا سطح،

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

برهم‌کنش هر جفت لایه تنها یک بار شمرده می‌شود؛ هیچ ضریب $1/2$ اضافی لازم نیست. نتیجه مثبت است: برای گردآوردن بارها باید بر دافعه چیره شد. حاصل‌ضرب $k_{e} Q^{2} / R$ برحسب ژول بیان می‌شود.

پرسش 2. در چگالی ذره‌ای ثابت

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

، داریم

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. با جای‌گذاری،

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

این انرژی از درجهٔ $5/3$ و بنابراین ناگسترده است. انرژی آن به‌ازای هر ذره مانند $N^{2/3}$ رشد می‌کند. درجه همان درجهٔ کرهٔ گرانشی است، زیرا هر دو پتانسیل مانند $1/ r$ کاهش می‌یابند؛ علامت مخالف است، چون بارهای هم‌علامت یکدیگر را می‌رانند. مدل پیوسته سهم جمعی را توصیف می‌کند و خودانرژی‌های بارهای نقطه‌ای را به حساب نمی‌آورد.

پرسش 3. در

Q

ثابت، تفاضل برابر است با

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

در یک تحول شبه‌ایستا و بدون اتلاف، سهم الکتریکی کار دریافتی برابر تغییر انرژی پتانسیل است. این را با انتگرال‌گیری نیز می‌توان بررسی کرد:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

عامل خارجی بارهایی را که یکدیگر را می‌رانند نگه می‌دارد و هنگام انبساط کار دریافت می‌کند. هیچ ذخیرهٔ دیگری از انرژی در سازوکار نگه‌دارنده در این موازنهٔ الکتریکی وارد نشده است.

پرسش 4. برای بارهای هم‌علامت، همهٔ حاصل‌ضرب‌های

q_{i} q_{j}

مثبت‌اند: سهم‌هایشان با هم جمع می‌شوند. در مادهٔ خنثای الکتریکی، برعکس، سهم‌های جاذبه‌ای و دافعه‌ای وجود دارند که می‌توانند در فاصله‌های بزرگ یکدیگر را خنثی کنند. بدین ترتیب خنثایی و، در محیط‌هایی که نقش دارد، استتار استدلالِ مبتنی بر جمع جمله‌هایی که همه هم‌علامت‌اند را تغییر می‌دهند. بااین‌حال خنثایی کل به معنای

U_{el} = 0

نیست. دو بار

+ q_{0}

- q_{0}

با فاصلهٔ

a

بار کل صفر دارند، اما انرژی برهم‌کنش آن‌ها

- k_{e} q_{0}^{2} / a

و غیرصفر است. برای به‌دست‌آوردن یک قانون مقیاس‌بندی باید آرایش و هم‌بستگی‌های میان بارها را دانست. بنابراین محاسبهٔ کرهٔ باردار یکنواخت نه اثباتی بر ناگستردگی هر ماده است و نه اثباتی بر گستردگی سامانه‌های خنثی.