تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

ساختن یک کرهٔ گرانشی یکنواخت

تمرین 15 · درس 4 — قانون اول ترمودینامیک

گرانش
انرژی برهم‌کنش
کرهٔ یکنواخت
گستردگی
برد بلند

صورت مسئله

کره‌ای به شعاع $R$ جرم $M$ را به‌طور یکنواخت با چگالی جرمی $ρ_{m}$ در خود دارد. می‌خواهیم انرژی پتانسیل گرانشی آن، $U_{grav}$ ، را حساب کنیم؛ مبدأ انرژی را وقتی اجزای جرم آن بی‌نهایت از هم دورند صفر می‌گیریم.

فرض کنید کره را لایه‌به‌لایه با پوسته‌های هم‌مرکز و با حفظ همان چگالی جرمی می‌سازیم. در مرحله‌ای که شعاع به $r$ رسیده است، جرم ساخته‌شده $M (r)$ است و پوسته‌ای به جرم $d M$ را از بی‌نهایت می‌آوریم. می‌پذیریم که پتانسیل ناشی از جرم درونی در سطح آن $- GM (r) / r$ است. محاسبه تنها به انرژی گرانشی مربوط است و هیچ تعادل مکانیکی برای کره فرض نمی‌شود.

کرهٔ ساخته‌شده و پوستهٔ افزوده‌شده میان $r$ و $r + d r$ را رسم کنید. $ρ_{m}$ ، $M (r)$ و $d M$ را برحسب $M, R, r$ و $d r$ بنویسید.
انرژی برهم‌کنش پوسته با کرهٔ درونی را بنویسید و سپس با انتگرال‌گیری $U_{grav}$ را به دست آورید. آیا باید نتیجه را بر دو تقسیم کرد؟
کره $N$ جزء سازنده به جرم $m$ دارد، با $M = N m$ . در چگالی جرمی ثابت $ρ_{m}$ ، $R$ را برحسب $N$ بنویسید و سپس وابستگی $U_{grav}$ و $U_{grav} / N$ به $N$ را تعیین کنید.
انرژی کره‌ای با $2 N$ جزء را با مجموع انرژی‌های دو کرهٔ بی‌نهایت دور از هم، هر یک با $N$ جزء، مقایسه کنید؛ همه با چگالی جرمی یکسان. دربارهٔ علامت تفاضل و گستردگی بحث کنید.

راهنمایی

حجم پوسته

4 π r^{2} d r

است. انرژی برهم‌کنش آن با جرمی که از پیش در جای خود است برابر

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

است. در این شمارش، هر جفت هنگامی دیده می‌شود که بخش بیرونی آن افزوده شود.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. شکل گوی‌ای به شعاع

r

و جرم

M (r)

را نشان می‌دهد که لایه‌ای به ضخامت

d r

آن را در بر گرفته است؛ شعاع نهایی

R

نیز مشخص شده است. یکنواختی چگالی جرمی می‌دهد

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

پس جرم افزوده‌شده چنین است:

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

پرسش 2. پتانسیل گرانشی انرژی بر واحد جرم است. با ضرب آن در جرم آورده‌شده، به دست می‌آید

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

انتگرال روی همهٔ شعاع‌های ساخت گرفته می‌شود:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

هر برهم‌کنش میان یک لایهٔ تازه و یک لایهٔ درونی تنها یک بار شمرده می‌شود. پس نباید ضریب $1/2$ افزود. خودانرژی یک پوستهٔ بی‌نهایت‌کوچک از مرتبهٔ $(d M)^{2}$ است و در حد پیوسته سهمی در انتگرال ندارد. علامت منفی بیانگر جاذبه است؛ جداکردن جرم‌ها نیازمند دادن انرژی است. سرانجام، $G M^{2} / R$ به‌درستی یکای ژول دارد.

پرسش 3. در چگالی ثابت،

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

با جای‌گذاری $M$ و $R$ در انرژی،

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

که در آن $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ مستقل از $N$ است. بنابراین انرژی به‌ازای هر جزء $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ است. قدر مطلق آن با اندازهٔ سامانه افزایش می‌یابد: شدتی باقی نمی‌ماند.

پرسش 4. انرژی کرهٔ بزرگ

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

است. برای دو کرهٔ بی‌نهایت دور از هم، برهم‌کنش متقابل صفر است و مجموع برابر

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

است. تفاضل برابر است با

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

کرهٔ بزرگ از نظر گرانشی مقیدتر است. این مقایسهٔ حالت‌ها به‌تنهایی دینامیک به‌هم‌پیوستن آن‌ها را توصیف نمی‌کند. این مقایسه نشان می‌دهد $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : انرژی گرانشی گسترده نیست. پایستگی انرژی زیر سؤال نمی‌رود؛ گستردگی فرضی افزوده است که برای این برهم‌کنش بلندبرد برقرار نیست.