تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

تمرین درسی: تحول‌های بنیادی

تمرین 17 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

تمرین درسی
گاز کامل تک‌اتمی
تحول هم‌حجم
تحول هم‌دما
تحول هم‌فشار
انرژی درونی
کار
گرما
قانون اول

صورت مسئله

$n$ مول گاز کامل تک‌اتمی را در نظر می‌گیریم که در آغاز در حالت $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ است. سه تحول شبه‌ایستا را جداگانه بررسی می‌کنیم که همگی از $A$ آغاز می‌شوند و در آن‌ها $T_{f} > T_{i}$ است:

$A \to B$ : گرم‌کردن هم‌حجم از $T_{i}$ تا $T_{f}$ ؛
$A \to C$ : تراکم هم‌دما در $T_{i}$ ، از $V_{A}$ تا $V_{A} /2$ ؛
$A \to D$ : گرم‌کردن هم‌فشار از $T_{i}$ تا $T_{f}$ .

قرارداد علامت بانکدار را به کار می‌بریم: انتقال‌هایی که گاز دریافت می‌کند مثبت‌اند.

سه تحول را در یک نمودار کلاپیرون $(P, V)$ رسم و حالت‌های $B$ ، $C$ و $D$ را به‌صورت نمادی تعیین کنید.
$W$ ، $Δ U$ و $Q$ را برای هر یک از سه تحول به‌صورت نمادی محاسبه کنید.
علامت انتقال‌های انرژی را تفسیر کنید.
کاربرد عددی: $n = 1 mol$ ، $T_{i} = 300 K$ ، $T_{f} = 500 K$ و $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

راهنمایی

برای گاز کامل تک‌اتمی،

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

است. از

W = - \int P d V

و قانون اول

Δ U = Q + W

استفاده کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. معادلهٔ حالت گاز کامل می‌دهد

حالت A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

در نمودار $(P, V)$ ، مسیر $A \to B$ خطی عمودی است، $A \to C$ روی منحنی هم‌دمای $T_{i}$ به‌سمت چپ پیش می‌رود و $A \to D$ خطی افقی به‌سمت راست است.

پرسش 2. گرم‌کردن هم‌حجم

A \to B

. چون

d V = 0

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

تراکم هم‌دما $A \to C$ . دما ثابت است، پس $Δ U_{A C} = 0$ . همچنین،

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

گرم‌کردن هم‌فشار $A \to D$ . در فشار ثابت، $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ ، پس

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

پرسش 3. در تحول هم‌حجم، تمام گرمای دریافتی انرژی درونی را افزایش می‌دهد. در تراکم هم‌دما، گاز کار دریافت می‌کند و دقیقاً همان مقدار انرژی را به‌شکل گرما پس می‌دهد. در تحول هم‌فشار، گاز گرما دریافت می‌کند، انرژی درونی‌اش افزایش می‌یابد و هنگام انبساط کار انجام می‌دهد.

پرسش 4. با

T_{f} - T_{i} = 200 K

تحول هم‌حجم A \to B هم‌دما A \to C هم‌فشار A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16