تمرین حل‌شدهٔ ترمودینامیک

تمرین درسی: تحول‌های بنیادی

تمرین 9 · درس 5 — کاربرد در گاز ایده‌آل

تمرین درسی
گاز کامل تک‌اتمی
تحول هم‌حجم
تحول هم‌دما
تحول هم‌فشار
انرژی درونی
کار
گرما
قانون اول

صورت مسئله

$n$ مول گاز کامل تک‌اتمی را در نظر می‌گیریم که در آغاز در حالت $A(P_A,V_A,T_i)$ است. سه تحول شبه‌ایستا را جداگانه بررسی می‌کنیم که همگی از $A$ آغاز می‌شوند و در آن‌ها $T_f>T_i$ است:

$A\to B$ : گرم‌کردن هم‌حجم از $T_i$ تا $T_f$ ؛
$A\to C$ : تراکم هم‌دما در $T_i$ ، از $V_A$ تا $V_A/2$ ؛
$A\to D$ : گرم‌کردن هم‌فشار از $T_i$ تا $T_f$ .

قرارداد علامت بانکدار را به کار می‌بریم: انتقال‌هایی که گاز دریافت می‌کند مثبت‌اند.

سه تحول را در یک نمودار کلاپیرون $(P,V)$ رسم و حالت‌های $B$ ، $C$ و $D$ را به‌صورت نمادی تعیین کنید.
$W$ ، $\Delta U$ و $Q$ را برای هر یک از سه تحول به‌صورت نمادی محاسبه کنید.
علامت انتقال‌های انرژی را تفسیر کنید.
کاربرد عددی: $n=1\ \mathrm{mol}$ ، $T_i=300\ \mathrm{K}$ ، $T_f=500\ \mathrm{K}$ و $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

راهنمایی

برای گاز کامل تک‌اتمی،

\Delta U=\frac32nR\Delta T

است. از

W=-\int P\,\mathrm{d}V

و قانون اول

\Delta U=Q+W

استفاده کنید.

پاسخ تفصیلی

پاسخ

پرسش 1. معادلهٔ حالت گاز کامل می‌دهد

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{حالت} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

در نمودار $(P,V)$ ، مسیر $A\to B$ خطی عمودی است، $A\to C$ روی منحنی هم‌دمای $T_i$ به‌سمت چپ پیش می‌رود و $A\to D$ خطی افقی به‌سمت راست است.

پرسش 2.

گرم‌کردن هم‌حجم $A\to B$ . چون $\mathrm{d}V=0$ ،

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

تراکم هم‌دما $A\to C$ . دما ثابت است، پس $\Delta U_{AC}=0$ . همچنین،

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

گرم‌کردن هم‌فشار $A\to D$ . در فشار ثابت، $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ ، پس

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

پرسش 3. در تحول هم‌حجم، تمام گرمای دریافتی انرژی درونی را افزایش می‌دهد. در تراکم هم‌دما، گاز کار دریافت می‌کند و دقیقاً همان مقدار انرژی را به‌شکل گرما پس می‌دهد. در تحول هم‌فشار، گاز گرما دریافت می‌کند، انرژی درونی‌اش افزایش می‌یابد و هنگام انبساط کار انجام می‌دهد.

پرسش 4. با $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{تحول} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{هم‌حجم }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{هم‌دما }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{هم‌فشار }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}